problemas de cinemática de manuel valencia

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME. 1. Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad media de 90 Km/h ¿A qué hora llegará a su destino? Solución: a las dos de la tarde. 2. Dos trenes se cruzan perpendicularmente y hacen un recorrido durante cuatro horas, siendo la distancia que los separa al cabo de ese tiempo, de 100 km. Si la velocidad de uno de los trenes es de 20 km/h, calcular la velocidad del segundo tren. Solución: v = 15 km/h 3. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 Km/h y 12 Km/h respectivamente se cruzan perpendicularmente en su camino. Al cabo de seis horas de recorrido, ¿cuál es la distancia que los separa? Solución: 93,72 km. 4. Dos automóviles que marchan en el mismo sentido, se encuentran a una distancia de 126 Km. Si el más lento va a 42 Km/h, calcular la velocidad del más rápido, sabiendo que le alcanza en seis horas. Solución: v = 63 km/h 5. Un deportista sale de su casa en bici a las seis de la mañana. Al llegar a un cierto lugar, se le estropea la bici y ha de volver andando. Calcular a qué distancia ocurrió el percance sabiendo que las velocidades de desplazamiento han sido de 30 Km/h en bici y 6 Km/h andando y que llegó a su casa a la una del mediodía. Solución: 30 km 6. Un deportista recorre una distancia de 1.000 km, parte en moto y parte en bici. Sabiendo que las velocidades han sido de 120 Km/h en la moto y 20 Km/h en bici, y que el tiempo empleado ha sido de 15 horas calcular los recorridos hechos en moto y en bici. Solución: la motocicleta 840 km y la bici 160 km. 7. Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo ¿al cabo de cuántos segundos percibirá el observador : a) el sonido directo. b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s. Solución: el sonido directo a 0,75 s, y el del eco a 2,25 s. 8. Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que lo ve, sale detrás del mismo tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo lo alcanzará? Solución: 30 minutos. 9. Calcular la longitud de un tren cuya velocidad es de 72 Km/h y que ha pasado por un puente de 720 m de largo, si desde que penetró la máquina hasta que salió el último vagón han pasado ¾ de minuto. Solución: 180 metros. 10. Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde, calcular : a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen? Solución: tardan en encontrarse 2,5 horas; a 195 km de Bilbao.

Programación por niveles: Estática y dinámica. Actividades para el nivel superior. Alumnos avanzados

Pretenden ser actividades para el desarrollo de las destrezas en el aprendizaje de la física, para aprender jugando, si practicas con ellas, y te sirve de entretenimiento, creo que merece la pena el esfuerzo de prepararlas… ¡Ánimo y a jugar!

Mecánica:

Inicio al estudio de los movimientos. Visualización del desplazamiento de un coche, con contadores de posición, velocidad y aceleración. Se pueden visualizar vectores aceleración y velocidad… y realizar cálculos diversos. Practicar…

Test de elección múltiple, para que aprendas y solidifiques tus conocimientos sobre CINEMÁTICA. En el tienes 30 preguntas, para simplificar la carga de la página, cada vez que actualices la página de los test se cargarán sólamente 10 preguntas. Cuando superes el test, puedes cargar otro… hasta que te canses.

Actividades Para trabajar con las representaciones gráficas y los cálculos sobre gráficas, aquí tienes dos programillas, que se autoejecutan desde este mismo sitio, o bien puedes abrirlos en una nueva ventana, para hacer prácticas:

Distancia/ tiempo: Con este juego, al pulsar sobre el botón de nuevo ejemplo, obtienes una gráfica en la que tienes que calcular (con lápiz y papel…):
a) la velocidad en cada tramo;
b) distancia y tiempo al origen;
c) distancia total recorrida.

Tras los cálculos realizados, puedes comprobar lo fino que has estado… ¡Que lo disfrutes!

Velocidad/tiempo : Similar al juego anterior, pero para el estudio del movimiento uniforme acelerado. ¡Juega con ellos!

PROBLEMAS DE DINAMICA

Una bala de 5 gramos lleva una velocidad de 400 m /s , choca y se empotra contra un bloque de madera de 5 Kg, suspendido formando un péndulo. Determinar la altura a que se elevará el bloque después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm.

Por ser un choque inelástico se cumple el teorema de conservación de la cantidad de movimiento, pero no se cumple el de conservación de la energía. Sea v1 la velocidad del bloque con la bala justo después del impacto:

S (mi.vi)]antesS (mi.vi)]después ® m. v = (m + M). v1

® v1 = v. m /(m + M) = 400. 0’005 / (0’005 + 5) = 0’4 m /s

A partir de este momento, debido al impulso recibido, el bloque con la bala se eleva, conservando su energía, por lo que la energía en el punto más alto es igual a la energía de salida:

Esalida = Epunto más alto ® ½. (m + M). v12 = (m + M).g. h

® h = ½. v12 /g = [ v. m /(m + M)]2 /(2g) = [ 400. 0'005 /(0'005 + 5)]2 /(2.9’8) = 0’0081 m

Durante el choque, la pérdida de energía se invierte en penetrar la bala en el bloque:

Eantes del choque – Edespués del choque = W  ® ½. m. v2 -  ½. (m + M). v12 = W = F. e

® F = [½. m. v2 -  ½. (m + M). v12 ] / e = [½. m. v2 -  ½. (m + M). [v. m /(m + M)]2 ] / e

F = ½. m. v2 . [ 1 – m /(m + M) ] / e = ½. m. v2 / [e.(m + M) ]

F = ½. 0’005. 4002 / [0’12.(0’005 + 5) ] = 660 N

La fuerza por unidad de longitud será:   F/L = 660 / 0’12 = 5500 N /m.

Un cuerpo de 60 Kg está en reposo sobre un plano inclinado 60º y está unido mediante una cuerda sin masa a otro cuerpo de 70 kg que está en un plano inclinado 30º. Si el coeficiente de rozamiento en ambos planos es 0’1, determinar la aceleración del sistema.

En cada cuerpo las fuerzas existentes son:

el peso, P

la reacción del plano, R

la fuerza de rozamiento, Fr

La reacción del plano, R , es igual a la componente normal del peso, N :

R1 = N1 = P1. cos a = 60. 9’8. cos 60 = 294 N

R2 = N2 = P2. cos b = 70. 9’8. cos 30 = 594 ‘ 1  N

El sentido del movimiento, si se mueve, vendrá dado por la mayor de las componentes tangenciales de los pesos, en este caso hacia la izquierda:

T1 = P1. sen a = 60. 9’8. sen 60 = 509 ‘ 2 N

T2 = P2.sen b = 70. 9’8. sen 30 = 343 N

Las fuerzas de rozamiento son:

Fr1m . N1 = 0’1. 294 = 29 ‘ 4 N

Fr2m . N2 = 0’1. 594’1 = 59 ‘ 41 N

La fuerza total que actúa sobre el sistema será:

F = T1 – ( T2 + Fr1 + Fr2 ) = 509’2 – ( 343 + 29’4 + 59’41 ) = 77 ‘ 39 N

La aceleración del movimiento será:

a = F / M = 77’39 / (60 + 70) = 0 ‘ 595 m /s2.

Un objeto de 4 kg de mas, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y 1 kg. El bloque de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con relación al primero. Determinar sus velocidades.

Al no existir ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento debe permanecer constante e igual a cero pues antes de estallar el sistema está en reposo.

Según el eje X:

m1.v1. cos 30 + m2.v2. cos 45 – mo.vo = 0

v1. cos 30 + v2. cos 45 =2.600= 1200

Según el eje Y:

m1.v1. sen 30 + m2.v2. sen 45 – mo.0 = 0

v1. sen 30 + .v2. sen 45  = 0

Resolviendo el sistema se obtiene:

v1 = 878 m /s           v2 = 621 m /s.

Las aspas de un molino son uniformes de masa 200 kg y de longitud 7 m. Sus extremos giran a una velocidad máxima de 36 Km /h. Determinar la fuerza que deben soportar los pernos de unión al eje.

La fuerza que soportan los pernos que sujetan el aspa al eje será la fuerza centrípeta que la obliga a girar más la acción del peso.

Sea r la densidad lineal del ala:   r = m /L

Consideremos la fuerza centrípeta sobre un diferencial de masa e integremos para todo el ala:

La fuerza máxima será cuando el aspa esté en la vertical inferior:    F = Fc + m.g.



CAPÌTULO 2

2. MARCO TEÒRICO CONCEPTUAL

  1. Movimiento

La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento.

Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática.

Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio:

  • El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición.
  • En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula).
  • Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia.
  • El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.
  1. Desplazamiento, velocidad y aceleración

Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.

En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas.

El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas físicas y la trayectoria resultante.

En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.

Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo del eje x.

Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.

Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura (2.1)

Para ver el gráfico seleccione la opción “Descargar” del menú superior

Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que

(2.2.1)

De la figura 2.1 es claro que es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .

Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t; entonces,

(2.2.2)

La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.

Es claro que conforme ∆t∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P.

Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento.

Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y, en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.

También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad instantánea que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,..; entonces,

Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de ax conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x con respecto a t:

vasquez la mejol

teoria cinematica “claminton”

INTRODUCCIÓN

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturalezade los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentum, fuerzay energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes.

La mecánica, es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la cinemática, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica, que a diferencia de la cinemática, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del movimiento propuestas por Newton.

En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la cinemática: movimiento rectilíneo acelerado y no acelerado, movimiento curvilíneo, movimiento parabólico y caída libre. Se presentará los conceptos de aceleración tangencial, aceleración radial y radio de curvatura; todos ellos de manifiesto en los movimientos circulares. Un apartado será dedicado a la cinemática vectorial; aquí, el álgebra con vectores se empleará en la caracterización de los movimientos. Se expondrá las leyes del movimiento de Newton, y la manera como éstas se aplican al análisisde una amplia variedad de movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes: fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento dinámico. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.

OBJETIVO GENERAL

Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de cinemática y dinámica en la resolución de problemas prácticos que involucren movimientos tanto en el plano como en el espacio.

CONTENIDOS

  1. Movimiento uniforme acelerado y no acelerado.
  2. Características cinemáticas de cuerpos en caída libre.
  3. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento parabólico.
  4. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento circular.
  5. Leyes del movimiento de Newton.
  6. Fuerzas de rozamiento: estático y dinámico.
  7. Cinemática vectorial: vector posición, vector velocidad y vector aceleración.
  8. Cinemática vectorial: radio de curvatura en movimientos circulares.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

  1. Multiplicación de vectores: escalar y vectorial.
  2. Álgebra matricial: matriz adjunta y teorema del cofactor.
  3. Cálculo infinitesimal: límite y derivación de funciones matemáticas.
  4. Cálculo integral: integrales definidas con límites de integración.
  5. Trigonometría plana.
  6. Descomposición rectangular de vectores: Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

DESARROLLO TEÓRICO

1.1 Diferencia entre cinemática y dinámica.

La cinemática, es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en función del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y el tiempo, considerando los agentes presentes que lo producen.

En cinemática es de gran importancia definir un referencial, el cual es un marco de referencia, cuya característica principal es la de no estar acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial.

1.2 Velocidad y aceleración: ecuaciones básicas.

La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo t, está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo (Figura 1).

(1)

Donde:

: Velocidad media del móvil, m/s

: Magnitud del desplazamiento del móvil, m

Intervalo de tiempo, s

Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Figura 1. Una partícula que se mueve en el plano x-y se localiza a través del vector posición dibujado desde el origen del sistema referencial inercial. El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en el intervalo = tf – ti, es igual al vector = .

Un concepto derivado de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la cual se define como el límite de la velocidad promedio, , conforme tiende a cero.

(2)

La velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección del movimiento. A la magnitud del vector de velocidad instantánea recibe el nombre de “rapidez”.

La velocidad media al igual que la velocidad instantánea se expresa m/s en el sistema internacional; Ft/s en el sistema británico (se lee pies por segundo), y cm/s en el sistema c.g.s.

Dado que la velocidad de un móvil puede variar en el tiempo, nació un concepto denominado aceleración, la cual se define como la razón de cambio del vector velocidad, , en un tiempo transcurrido .

(3)

Donde:

Vf: velocidad final del movimiento, m/s

Vi: velocidad inicial del movimiento, m/s

tf – ti: intervalo de tiempo trascurrido para que el móvil pase de Vi a Vf.

Puesto que la aceleración promedio es la razón entre una cantidad vectorial, , y una cantidad escalar, , se concluye que, , es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Un concepto derivado de la aceleración promedio, es la aceleración instantánea, la cual se define como el valor límite de la razón , cuando, , tiende a cero.

(4)

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la razón de cambio del vector velocidad respecto al tiempo.

Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un móvil tiene una aceleración asociada: cuando la magnitud del vector (la rapidez) cambia con el tiempo; como en un movimiento acelerado en línea recta; cuando sólo la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin que su magnitud varíe, como en un movimiento curvilíneo; y por último, cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad se modifican continuamente.

La aceleración media, así como la aceleración instantánea se expresan en m/s2 en el sistema internacional, en Ft/s2 en el sistema británico (se lee pies por segundo cuadrado), y cm/s2 en el sistema c.g.s.

El hecho de que un cuerpo se desplace con una aceleración de 15 m/s2, implica que cada segundo su velocidad aumenta 15 m/s. También pudiese darse el caso de que un móvil ostente una aceleración negativa, por ejemplo de – 8 m/s2, lo cual indica que cada segundo su velocidad decae 8 m/s. Por último, si un móvil tiene una aceleración igual a cero, puede inferirse que: posee una velocidad constante, o se encuentra en reposo.

1.3 Movimiento rectilíneo uniforme.

Haciendo uso del cálculo integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas que gobiernan el movimiento unidimensional (significa que se da a lo largo de una línea recta).

Como la aceleración de un móvil está dada por: despejando dv, queda…

dv = a.dt la cual por integración, resulta…

(5)

Asumiendo que la aceleración es constante a lo largo del tiempo (movimiento con aceleración constante), nos queda:

v = a.t + C1 (6)

Donde:

a: aceleración del móvil, m/s2

t: tiempo, s

C1: constante de integración,m/s

El valor C1 depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si se toma v = v0 cuando t = t0 y sustituimos estos valores en la ecuación 6, se tendrá…

v = a [0] + C1 despejando C1…

C1 = v0 (7)

Por tanto, se obtiene la primera ecuación cinemática (Ecuación 8), la cual relaciona la velocidad del móvil con su aceleración.

v = vo + a.t (8)

Ahora considerando la ecuación que define la velocidad instantánea: y despejando dx, nos queda:

dx = v.dt (9)

Integrando la Ecuación 9, resulta…

(10)

No obstante, dado que según la Ecuación 8: v = v0 + a.t, nos queda…

integrando…

(11)

Donde:

x: distancia recorrida, m

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

t: tiempo, s

a: aceleración del móvil, m/s2

C2: constante de integración, m

Para encontrar C2, se toma en cuenta la siguiente condición inicial x = x0, cuando t = 0. Esto produce C2 = x0. En consecuencia, se obtiene:

(12)

La Ecuación 12 relaciona: la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración del móvil con la distancia por él recorrida.

Figura 2. Gráfica velocidad – tiempo. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante, a. La aceleración matemáticamente equivale a la pendiente de la gráfica superior, el punto de corte con el eje de velocidades, es la velocidad inicial del móvil.

La Figura 2, revela que la aceleración puede calcularse aplicando la definición de pendiente, o sea:

(13)

Cuando el movimiento es unidimensional, la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la media aritmética de la velocidad inicial, v0, y la velocidad final, v.

(14)

Donde:

: velocidad media del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

v: velocidad inicial del móvil en cualquier tiempo t, m/s

Según la Ecuación 8, v = v0 + a.t; despejamos t…

(15)

Dado que la Ecuación 12 establece que:; se introduce la Ecuación 15 en la Ecuación 12…

desarrollando, queda…

(16)

Donde:

v: velocidad final del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

a: aceleración del móvil, m/s2

x – xo: distancia que recorre el móvil al pasar de vo a vf, m

Esta última fórmula establece la velocidad como una función del desplazamiento.

1.4 Lanzamiento horizontal: ecuaciones asociadas.

En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos movimientos:

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su “Principio de la independencia de los movimientos”.

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su “Principio de la independencia de los movimientos”.

Figura 3. En este caso el disparo se hace desde una altura “Y” como lo indica la figura con una velocidad inicial , al iniciar su caída estará sometido el proyectil a la acción de dos movimientos: uno horizontal con velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo debido a la fuerza de gravedad.

En este movimiento, la componente horizontal de la velocidad es de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a, .

= (17)

La componente vertical de la velocidad, , en un instante de tiempo cualquiera viene dada por:

= .t (18)

Donde:

vy: velocidad vertical del móvil, m/s

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

Aplicando el Teorema de Pitágoras, es posible determinar el módulo del vector velocidad en cualquier instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, en todo momento.

(19)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad del móvil, m/s

vy: componente vertical de la velocidad del móvil, m/s

La dirección del vector velocidad queda definida por la función tangente del ángulo .

(20)

La ecuación de posición horizontal es la misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que la rapidez en este sentido es constante, escribiéndose como:

x = v0.t (21)

La posición vertical se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre;

(22)

Donde:

y: distancia vertical que el móvil se ha desplazado, m

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

El signo negativo en la Ecuación 22, se debe al vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el centro de la Tierra.

El desplazamiento total se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal son ortogonales entre si.

(23)

Donde:

x: componente horizontal del desplazamiento, m

y: componente vertical del desplazamiento, m

La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente.

(24)

Un término ampliamente usado en movimientos que se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo. Al tocar el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical “Y” (Figura 3), pudiéndose escribir de acuerdo a la Ecuación 22:

despejando tv…

(25)

El alcance horizontal, es el desplazamiento total horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal es la misma del desplazamiento horizontal, pero con t = tv

R = v0. tv(26)

A continuación se demuestra que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para cierto tiempo “t” viene dado por:

x = v0 . t despejando ” t ” nos queda…

(27)

Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo tiempo “t” esta dada por la Ecuación 22…; como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir “t” de la Ecuación 27 en “t” de la Ecuación 22, quedando…

(28)

Como v0 (velocidad inicial) y g (aceleración de gravedad) son constantes se tendrá que:

y = k.x2 (29)

En donde (término constante)

Como puede notarse, la Ecuación 29 corresponde a la ecuación de una parábola, con lo que se concluye que la trayectoria del movimiento es esencialmente parabólica.

1.5 Lanzamiento inclinado: ecuaciones asociadas.

Al igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil estará sometido a la acción de dos movimientos (Figura 4):

  • Uno horizontal con velocidad constante, es decir, la componente horizontal de la aceleración es cero.
  • Otro vertical con aceleración constante, dirigida hacia abajo.

Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un ángulo , con una velocidad inicial “vo”, se produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por la fuerza de gravedad, precisamente éste último ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea parabólica.

Cuando el proyectil ocupa la posición P de la Figura 4, un instante “t” después de haber sido lanzado, la velocidad, , tendrá una componente horizontal,, y otra vertical,. La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y está dada por:

(30)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad, m/s

vox: componente horizontal de la velocidad inicial, m/s

: ángulo de disparo, grados

La magnitud de la componente vertical de la velocidad en cualquier instante está dada por:

(31)

Donde:

vy: componente vertical de la velocidad, m/s

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

t: tiempo, s

Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada por:

(32)

El ángulo que el vector velocidad total forma con el eje horizontal permite definir la dirección del referido vector:

(33)

El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x) viene dado por:

(34)

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante, , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de desplazamiento vertical, queda definida por:

(35)

El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima [ymáx], es denominado tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que, a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a lo largo del eje y [ ] hasta hacerse cero en el vértice de la parábola descrita.

Según la Ecuación 31 y sabiendo que la velocidad vertical en el punto de máxima altura es cero.

despejando tmáx…

(36)

Por otra parte, la altura máxima la obtenemos haciendo t = tmáx en la Ecuación 35, quedandonos…

ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación 36…

Nos queda desarrollando…

(37)

Donde:

ymáx: máxima altura que alcanza el proyectil, m

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura 4).

(38)

Las fórmulas desarrolladas tanto para el lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto resistivo del aire, la curvatura de la superficie terrestre, ni la variación gravitacional.

1.6 Movimiento circular: ecuaciones asociadas.

Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas, revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución es equivalente a 360º ó 2 radianes.

Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se refiere a la variación del desplazamiento angular que experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min [conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo “” radianes en un tiempo de “t” segundos, su velocidad angular media [rad/s] se define por la relación:

…cinematica y dinamica…

una particula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5 t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

  • 2 y 3 s.
  • 2 y 2.1 s.
  • 2 y 2.01 s.
  • 2 y 2.001 s.
  • 2 y 2.0001 s.
  • Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
  • Hallar la velocidad media del móvil entre el instante t y el instante t+Dt
  • Hallar la velocidad en el instante t en el límite cuando Dt tiende a cero.
  • Hallar la derivada x con respecto del tiempo.

 

2.-Un automóvil parte del reposo y se mueve con una aceleración de 4 m/s2, y viaja durante 4 s. Durante los próximos 10 s, se mueve con movimiento uniforme. Se aplican los frenos y el automóvil desacelera a razón de 8 m/s2 hasta que se detiene.

  • Calcular la posición del móvil al final de cada intervalo y su posición cuando se detiene.
  • Hacer un gráfico de la velocidad en función del tiempo.
  • Mostrar que el área comprendida entre la curva y el eje del tiempo mide el desplazamiento total del automóvil.

 

3.-Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ley x=2t3-4t2+5 m. Hallar

  • La velocidad
  • La aceleración del móvil en función del tiempo.

 

4.-Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t=2 s. está situado a 4 m del origen.

  • Calcular la aceleración del móvil.
  • La posición del móvil en cualquier instante.

 

5.-La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t=3 s, la velocidad del móvil vale 2 m/s y se encuentra en la posición x=9 m.

  • La expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
  • La expresión de la posición del móvil en función del tiempo.

 

6.-Un objeto se lanza verticalmente con una velocidad de 60 m/s. (tomar g=10 m/s2)

  • Calcular su altura y velocidad en los instantes t = 2, 4, 6, 8, 10, 12 s después del lanzamiento.
  • ¿Qué altura máxima alcanza?
  • ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al suelo?

 

7.-Se lanza un cuerpo hacia arriba, en dirección vertical, con velocidad inicial de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Tomar g=9.8 m/s2. Hallar:

  • La máxima altura que alcanza el cuerpo medida desde el suelo
  • El tiempo que transcurre hasta que llega al suelo.
  • La velocidad al llegar al suelo

 

8.-Un automóvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en función del tiempo están dadas por las expresiones: x=2t3-3t2, y=t2-2t+1 m. Calcular:

  • Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
  • Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

 

9.-Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en función del tiempo vienen dadas por las expresiones: vx=4t3+4t, vy=4t m/s. Si en el instante t=0 s, el móvil se encontraba en la posición x=1, y=2 m. Calcular:

  • Las componentes de la aceleración en cualquier instante
  • Las coordenadas x e y , del móvil, en función del tiempo.
  • Sus valores para el instante t=1 s.

 

10.-Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con una aceleración de 2 m/s2. Calcular:

  • La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto
  • La altura máxima
  • El valor de las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo.

 

11.-Un proyectil es disparado con una velocidad de 600 m/s, haciendo un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular:

  • La ecuación de la trayectoria, ¿Qué representa?.
  • El alcance horizontal.
  • La altura máxima.

 

12.-Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un ángulo de 30º por debajo de la horizontal.

  • Determinar la velocidad de disparo para que el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a partir de la base de la colina.

 

13.-Una partícula se está moviendo en una circunferencia, su velocidad angular en función del tiempo está dada por la expresión w=3t2-2t+2 rad/s. Sabiendo que en el instante t=0 s. el móvil se encontraba en el origen q=0. Calcular:

  • La expresión de la aceleración angular en función del tiempo.
  • La expresión de la posición angular en función del tiempo.
  • Los valores de las magnitudes angulares en el instante t= 2 s.

 

14.-Una rueda de radio 10 cm está girando con una velocidad angular de 120 r.p.m., se aplican los frenos y se detiene en 4 s. Calcular:

  • La aceleración angular (supuesta constante la fuerza de frenado).
  • El ángulo girado a los 4 s.

Calcular 1 s. después de aplicar los frenos:

  • La velocidad angular, la velocidad (lineal) de un punto de la periferia de la rueda.
  • La aceleración tangencial, la aceleración normal, la aceleración resultante y el ángulo que forma con la dirección radial.

 

15.-Dos móviles describen una trayectoria circular en el mismo sentido. El primer móvil parte del origen, inicialmente en reposo, con aceleración angular constante de 2 rad/s2; el segundo móvil parte de la posición p/2 rad, y está animado de un movimiento uniforme con velocidad constante de 120 r.p.m.

  • Determinar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles.

 

  16.-El plato de una bicicleta tiene 35 cm de radio y está unido mediante una cadena a un piñón de 7 cm de radio, que mueve una rueda de 75 cm de radio. Si la velocidad angular constante del plato es de 2 rad/s. Calcular:

  • La velocidad angular del piñón y la velocidad (lineal) de un diente del piñón.
  • La velocidad de un punto de la periferia de la rueda.

17.-Dos trenes A y B se desplazan en vías rectilíneas paralelas a 70 y 90 km/h respectivamente. Calcular la velocidad relativa de B respecto de A:

Cuando se mueven en el mismo sentido.

  • Cuando se mueven en sentido contrario

 

18.-Un río fluye hacia el norte con velocidad de 3 km/h. Un bote se dirige al Este con velocidad relativa al agua de 4 km/h.

  • Calcular la velocidad del bote respecto de tierra.
  • Si el río tiene 1 km de anchura, calcular el tiempo necesario para cruzarlo.
  • ¿Cuál es la desviación hacia el norte del bote cuando llega a la otra orilla del río?
  19.-Una bandera situada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 45º como se muestra en la figura. Pero la bandera situada en una casa a la orilla flamea haciendo un ángulo de 30º. Si la velocidad del bote es de 10 km/h hacia el norte.

  • Identificar y dibujar con origen común los vectores: velocidad del viento (respecto de tierra), velocidad del bote (respecto de tierra), velocidad del viento (respecto del bote).
  • Relacionar los tres vectores y calcular la velocidad del viento.

 

20.-Un avión se mueve en vuelo horizontal a una altura h sobre el suelo y con velocidad v constante. Cuando pasa justamente por encima de un observador O, el piloto del avión suelta un paquete.

  • La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación.
  • El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.
    •  
    •  
    •  
    • Una bala de 5 gramos lleva una velocidad de 400 m /s , choca y se empotra contra un bloque de madera de 5 Kg, suspendido formando un péndulo. Determinar la altura a que se elevará el bloque después del impacto y la fuerza resistente de la madera a la penetración si la bala penetró 12 cm.
    • Por ser un choque inelástico se cumple el teorema de conservación de la cantidad de movimiento, pero no se cumple el de conservación de la energía. Sea v1 la velocidad del bloque con la bala justo después del impacto:
    • S (mi.vi)]antes = S (mi.vi)]después  ®  m. v = (m + M). v1 
    •   ®   v1 = v. m /(m + M) = 400. 0’005 / (0’005 + 5) = 0’4 m /s
    • A partir de este momento, debido al impulso recibido, el bloque con la bala se eleva, conservando su energía, por lo que la energía en el punto más alto es igual a la energía de salida:
    • Esalida = Epunto más alto   ®   ½. (m + M). v12 = (m + M).g. h
    •   ®   h = ½. v12 /g = [ v. m /(m + M)]2 /(2g) = [ 400. 0'005 /(0'005 + 5)]2 /(2.9’8) = 0’0081 m 
    • Durante el choque, la pérdida de energía se invierte en penetrar la bala en el bloque:
    • Eantes del choque – Edespués del choque = W  ®     ½. m. v2 -  ½. (m + M). v12 = W = F. e
    •   ®  F = [½. m. v2 -  ½. (m + M). v12 ] / e = [½. m. v2 -  ½. (m + M). [v. m /(m + M)]2 ] / e 
    • F = ½. m. v2 . [ 1 – m /(m + M) ] / e = ½. m. v2  / [e.(m + M)
    • F = ½. 0’005. 4002  / [0’12.(0’005 + 5) ] = 660 N
    • La fuerza por unidad de longitud será:   F/L = 660 / 0’12 = 5500 N /m
    • Ir al principio
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    • Un cuerpo de 60 Kg está en reposo sobre un plano inclinado 60º y está unido mediante una cuerda sin masa a otro cuerpo de 70 kg que está en un plano inclinado 30º. Si el coeficiente de rozamiento en ambos planos es 0’1, determinar la aceleración del sistema.
    • En cada cuerpo las fuerzas existentes son:
    • el peso, P
    • la reacción del plano, R
    • la fuerza de rozamiento, Fr 
    • La reacción del plano, R , es igual a la componente normal del peso, N :
    • R1 = N1 = P1. cos a = 60. 9’8. cos 60 = 294 N
    • R2 = N2 = P2. cos b = 70. 9’8. cos 30 = 594 ‘ 1  N
    • El sentido del movimiento, si se mueve, vendrá dado por la mayor de las componentes tangenciales de los pesos, en este caso hacia la izquierda:
    • T1 = P1. sen a = 60. 9’8. sen 60 = 509 ‘ 2 N
    • T2 = P2.sen b = 70. 9’8. sen 30 = 343 N
    • Las fuerzas de rozamiento son:
    • Fr1 = m . N1 = 0’1. 294 = 29 ‘ 4 N
    • Fr2 = m . N2 = 0’1. 594’1 = 59 ‘ 41 N
    • La fuerza total que actúa sobre el sistema será:
    • F = T1 – ( T2 + Fr1 + Fr2 ) = 509’2 – ( 343 + 29’4 + 59’41 ) = 77 ‘ 39 N
    • La aceleración del movimiento será:
    • a = F / M = 77’39 / (60 + 70) = 0 ‘ 595 m /s2 
    • Ir al principio
    •  
    •  
    •  
    • Un objeto de 4 kg de mas, inicialmente en reposo, estalla en tres fragmentos de masas 2 kg, 1 kg, y 1 kg. El bloque de 2 kg sale con velocidad de 600 m/s y los otros formando 30º y -45º con relación al primero. Determinar sus velocidades.
    • Al no existir ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento debe permanecer constante e igual a cero pues antes de estallar el sistema está en reposo.
    • Según el eje X:
    • m1.v1. cos 30 + m2.v2. cos 45 – mo.vo = 0
    • v1. cos 30 + v2. cos 45 =2.600= 1200
    • Según el eje Y:
    • m1.v1. sen 30 + m2.v2. sen 45 – mo.0 = 0
    • v1. sen 30 + .v2. sen 45  = 0
    • Resolviendo el sistema se obtiene:
    • v1 = 878 m /s           v2 = 621 m /s
    • Ir al principio
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    • Las aspas de un molino son uniformes de masa 200 kg y de longitud 7 m. Sus extremos giran a una velocidad máxima de 36 Km /h. Determinar la fuerza que deben soportar los pernos de unión al eje.
    • La fuerza que soportan los pernos que sujetan el aspa al eje será la fuerza centrípeta que la obliga a girar más la acción del peso.
    • Sea r la densidad lineal del ala:   r = m /L
    • Consideremos la fuerza centrípeta sobre un diferencial de masa e integremos para todo el ala:
    • La fuerza máxima será cuando el aspa esté en la vertical inferior:    F = Fc + m.g 
    • Ir al principio
    • Un móvil parte con velocidad inicial V0 y  está sometido a una aceleración constante, g, y a un rozamiento proporcional y opuesto a la velocidad. Determinar las ecuaciones del movimiento.
    • La ecuación de la aceleración será:    MV/Mt = g – k.V
    • cuya solución es:         V = a.e -b.t + c
    • siendo a, b, c constante a determinar según condiciones iniciales:
    •     MV/Mt = – a.b.e -b.t = g – k.(a.e -b.t + c) 
    •  a.b = k.a   ®       b = k
    • g = k.c    ®       c = g/k
    •          ®  V = a.e – k.t + g/k
    • Al inicio, t=0, la velocidad es V = V0    ®      V0 = a + g/k
    •          ®     V = V0.e -k.t + g.(1 – e -k.t ) /k
    •         ®     V = g / k + e -k.t .(V0 – g/k)
    •  
    •  
    •  
    •  
    •  
    • Si no hay rozamiento, k=0, entonces la solución coincide con     V = V0 + g.t     ,     pues
    •         Lím k60 (1-e -k.t )/k = t
    •  
·          
·          
·        

 

  •  
  •  
  •  
  •  
  •     Dos masas m1 , m2 están unidas por una cuerda inextensible y sin masa de longitud L, y están colocadas sobre un cilindro de radio r. Determinar la posición de equilibrio y las ecuaciones del movimiento.
  • Cada masa está sometida a su propio peso p y a la reacción R del cilindro. Se descompone el peso en la dirección del radio y la tangente.
  • Si la longitud de la cuerda es L ® L = b .r
  • R1 = m1.g.senq T1 = m1.g.cosq
  • R2 = m2.g.sen(p – (q + b )) T2 = m2.g.cos(p – (q + b )) = – m2.g.cos (q + b )
  • Si están en equilibrio:
  • T1 = T2 ® m1.g.cosq = – m2.g.cos (q + b )  ®
  •  
  • La aceleración del movimiento, suponiendo T2 > T1, será la fuerza resultante dividido entre la masa total que se mueve; es decir:
  • a = – g.(m2.cos(q +b ) + m1.cosq )/(m1 + m2)
  •  
  •  
  •  
  •         Determinar las ecuaciones del movimiento de un péndulo ideal de masa m y longitud r.
  • El péndulo es un sistema que gira, por tanto podemos aplicar la ecuación de la dinámica de rotación: el momento total de las fuerzas es igual a la variación del momento de la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo.
  • El momento total, M, de las fuerzas sólo se debe al peso, pues la reacción está aplicada en el punto de giro y su momento es cero. Por otro lado, la velocidad es tangente a la trayectoria.
  • x = r · sen q
  • y = r · cos q
  • La ecuación quedará:
  • si suponemos oscilaciones pequeñas, senq » q , la expresión anterior puede aproximarse a la ecuación del movimiento armónico:
  •       de solución: q = A· sen (w .t – f )
  •                     siendo: A Amplitud del movimiento, a determinar según las condiciones iniciales
  • f Desfase, a determinar según condiciones iniciales
  • ·          w Pulsación cuyo valor es w = (g/r)1/2
  • El período del péndulo será:
  • T = 2.p / w = 2.p.(r / g)1/2
  • Problema 5: Un tren de longitud l y masa por unidad de longitud d, desciende sin impulsarse y sin rozamientos por un plano inclinado constante. Al llegar al plano horizontal su velocidad es v0. Determinar las ecuaciones del movimiento a partir de este momento.
  • El peso del la parte del tren situado en el plano horizontal no influye en el movimiento. Del peso de la parte del tren situado en el plano sólo influye la componente tangencial.
  • Denominamos q a la longitud de tren en el plano. Utilizamos la coordenada q en el sentido del plano.
  • El peso estará aplicado en el c.d.g. de coordenadas q/2 y su valor será: q.d.g
  • El valor de T será : T = – q.d.g.senq (el signo – se debe a que es opuesto al sentido positivo del eje)
  • Aplicando la ley de Newton: F = m.a ® – q.d.g.senq = l.d.q’’
  • La solución de esta ecuación es del tipo: q = A.sen wt + B.cos wt
  • Siendo w = (g.senq /l)1/2 y A y B constantes a determinar según las condiciones iniciales:
  •  
  • Para t = 0 , q = l, v = v0 :
  • l = A.sen0 + B.cos0 ® B = l
  • vo = A.w.cos 0 – B.w.sen 0 ® A = vo/w
  •  
  • La solución es:
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Una bola se mueve por un plano con una velocidad de 5 m/s y choca elásticamente con otra bola igual en reposo. Como consecuencia del impacto la bola se desvía 30º. Determinar las velocidades de las bolas después del choque.
  • Por ser un choque se conserva la cantidad de movimiento, y por ser elástico se conserva la energía.
  • ·          Denominamos k a la relación entre las masas de la bolas:     k = m1 / m2
  • Conservación de la cantidad de movimiento vertical:
  •     0 = m2 . v2 . senq – m1 . v1 . sena     ->     v2 . senq = k . v1 . sena     (1)
  • Conservación de la cantidad de movimiento horizontal:
  •     m1.vo = m1.v1.cosa + m2.v2.cosq     ->    k.vo = k.v1.cosa + v2.cosq    (2)
  • Conservación de la energía cinética:
  •     m1.vo2 = m1.v12 + m2.v22     ->     k.vo2 = k.v12 + v22     (3)
  • Conjunto de tres ecuaciones con siete variables por lo que se necesitan cuatro datos. Generalmente son datos conocidos m1 , m2 , vo , y un ángulo de salida.
  • ·              de (1) -> sena = v2.senq /(kv1)     ->     cosa = [1 – v22.sen2 /(k2.v12)]1/2
  •     sustituyendo en (2)     ->     (k.vo – v2.cosq )2 = k2.v12 – v22.sen2 ->
  •     k2.vo2 + v22.cos2q - 2.k.vo.v2. cosq = k2.v12 – v22.sen2q
  • teniendo en cuenta     (3):
  •     k2.v12 + k.v22 + v22 – 2.k.vo.v2. cosq = k2.v12
  •     k.v22 + v22 – 2.k.vo.v2. cosq = 0
  •          (4)
  • sustituyendo (4) en (3) y despejando v1:
  •          (5)
  • sustituyendo (4) y (5) en (1):
  •     k.vo. .[1- 4.k.cos2 /(k+1)2 ]1/2 .sena = 2.k.vo.cosq .senq /(k+1)
  • de donde se deduce:
  •         (6)
  • En este caso m1 = m2     ->    k = 1    ,  por lo que sustituyendo en (4), (5) y (6) y simplificando se obtiene:
  •     v2 = vo.cosq 
  •     v1 = vo.senq
  •     sena  = cosq    ->     a + q = 90º
  •     como en este caso  a = 30º   y  vo = 5   , se obtendrá:
  •  q = 90 – 30 = 60º    v2 = 5.cos 60 = 2’5 m/s        v1 = 3.sen 60 = 4’33 m/s
  •  
  •  
  •  
  • Calcular el radio de la órbita de un satélite geoestacionario.
  • Masa de la tierra   M = 6.1024 kg
  • Velocidad de giro de la tierra   w = 1 vuelta/día  = 7’27.10-5 rad/s
  • masa del satélite  m
  • Radio de la órbita del satélite  R
  • Los satélites giran alrededor de la tierra obligados por la fuerza de atracción gravitatoria que es por tanto la fuerza centrípeta, pero además, por ser geoestacionario debe permanecer sobre la misma posición vertical de la tierra, es decir: debe girar con la misma velocidad angular que la tierra, 1 vuelta al día.
  • Fatracción = G.M.m / R2 
  • Fcentrípeta = m.v2 / R = m.w2.R
  • Fatracción = Fcentrípeta     ->    G.M.m / R2 = m.w2.R
  • Despejando R:            R = (G.M / w2)1/3
  • R = [6’67.10-11.6.1024/(7’27.10-5)2]1/3 = 4’23.107 m     ->    R = 42300 Km
  •  
  •  
  •  
  • ·        
  • Desde que altura hay que dejar deslizar un objeto, sin rozamientos, para que pase un lazo de 5 metros.
  • El punto más dificil de la trayectoria es el C. Para que pueda pasar sin problemas el peso debe ser menor que la fuerza centrípeta:
  • m.g £  m.v2 /R   ®   vC ³ ( g.R )1/2 
  • Como no hay rozamientos, la energía permanece constante a lo largo de la trayectoria:
  • EA = EB = EC 
  •  m . g . h = ½ . m .vC2 + m . g . 2R  ®     h = ½ .vC2 /g + 2.R  ³ ½ .g.R /g + 2.R = 5.R /2
  •  
  •  
  •  
  •  
  • Se deja caer un cuerpo de 3 kg. por un plano inclinado 60º y desde una altura de 10m. Al llegar abajo, el plano asciende formando 30º. En ambos planos el coeficiente de rozamiento es 0’2. Determinar a qué altura llegará en el segundo plano.
  • Sean d1 y d2 el espacio recorrido en cada plano:
  • d1 = h1 / senq1
  • d2 = h2 / senq2
  • Cada fuerza de rozamiento será el coeficiente de rozamiento por la componente normal del peso:
  • Fr1 = m . N1 =   m . m.g. cos q1
  • Fr2 = m . N2 =  m . m.g. cos q2
  • La energía mecánica perdida por el cuerpo es igual al trabajo de las fuerzas resistentes.
  • [½ . m.v2 + m.g.h]A – [½ . m.v2 + m.g.h]B = Fr1 . d1 + Fr2 . d2
  • En A, punto de salida, y en B, punto de llegada, la energía cinética es cero, al serlo la velocidad.
  • m.g.h1 – m.g.h2 = m . m.g. cos q1.h1 / senq1 +  m . m.g. cos q2 .h2 / senq2
  • h1 – h2 = m .h1 / tg q1 +  m . .h2 / tg q2
  • h2 = h1. (1 -  m / tg q1 ) / (1 +  m / tg q2 )
  • En este caso: h2 = 10. (1 -  0’2 / tg 60 ) / (1 + 0’2 / tg 30 ) = 6’57 m

·          

·          

·          

·        

 

Vamos a ver ahora una serie de ejemplos de problemas de Dinámica donde aplicamos los conceptos que hemos visto hasta ahora. En general, los problemas de Dinámica consisten en determinar las fuerzasz que actuan sobre un cuerpo y la aceleración con la que se mueve dicho cuerpo. Para esto hay que hacer uso de la Segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleración.

En primer lugar, vamos a hablar de lo que se conoce como Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil sobre todo a aquellos que empiezan a estudiar la Dinámica. Después pasaremos a ver algunos ejemplos de problemas de Dinámica. Primero veremos el movimiento de un cuerpo sin rozamiento y posteriormente, estudiaremos el movimiento de un cuerpo con rozamiento.


 

En este apartado vamos a ver el Diagrama de cuerpo libre, que puede ser muy útil en la resolución de problemas de Dinámica, sobre todo en el caso de que haya más de un cuerpo.

A la hora de resolver un problema de Dinámica, lo primero que hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actuan sobre cada uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que haya no es más que representar para cada cuerpo por separado las fuerzas que actuan sobre él. Veamos un ejemplo de como hacer esto.

Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleración con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.

En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales son las fuerzas que actuan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas serán:

  • Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad y que están dirigidos hacia abajo,
  • Las normales sobre cada uno de los cuerpos que están dirigidas hacia arriba,
  • Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre él, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizará sobre A como reacción, FBA. Los sentidos de estas fuerzas son los que se muestran en el dibujo y
  • Sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.

Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es bastante sencillo. Sólo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actúan sobre él, tal como se muestra en las dos figuras siguientes:

>

El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que actuan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos. Como las fuerzas son vectores, habrá que aplicar la Segunda ley de Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es más que decidir que dirección será el eje x y cúal el eje y y cuales serán los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales serán los ejes de coordenadas, sólo tenemos que escribir la ecuación F = múa para cada eje.

Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los ejes de coordenadas. En este caso es fácil hacer la elección, el eje x será paralelo al suelo y el eje y perpendicular a éste, tal como se muestra en el dibujo. Tomaremos como positivas la parte derecha del eje x y la parte superior del eje y

Vamos a aplicar ahora la Segunda ley de Newton en cada uno de los ejes.

En el eje y, las fuerzas que hay son la Normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la Normal será positiva y el Peso negativo. Tenemos as¡:

NA – MA·g = MA·aAy

Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el suelo, por lo que no habrá movimiento en la dirección y. La aceleración en esa dirección debe ser, por tanto, cero. Nos queda entonces:

NA – MA·g = 0

De aquí podemos obtener el valor de la normal para el cuerpo A:

NA = MA·g

Veamos que sucede en la dirección del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerza F que aplicamos nosotros y la fuerza que el cuerpo B ejerce sobre A, FBA. La primera tendría sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con los ejes que hemos elegido anteriormente. De esta manera, al aplicar la Segunda ley de Newton obtenemos:

F – FBA = MA·aA

Con esta ecuación no podemos calcular nada más por ahora, ya que desconocemos cuanto vale FBA. Vamos a ver entonces qué ecuaciones obtenemos para el cuerpo B.

Para el cuerpo B tomaremos el mismo sistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, la aceleración en el eje y será cero puesto que el cuerpo ni se levanta ni se hunde en el suelo. Nos quedará entonces que:

NB = MB·g

o sea, que la normal que actua sobre B es igual al peso de B.

En la dirección x, la única fuerza que actua sobre el cuerpo B es la que ejerce A sobre él, FAB. Por tanto, la Segunda ley de Newton nos dice que:

FAB = MB·aB

En esta ecuación desconocemos tanto la fuerza como la aceleración del cuerpo B. Ahora bien, por la Tercera ley de Newton, las fuerzas FAB y FBA, tienen el mismo valor (aunque sentido contrario, tal como las hemos representado en los dibujos). Además, como los dos cuerpos se mueven conjuntamente, las aceleraciones tienen que ser las mismas ya que si no lo fueran, los cuerpos se separarian al moverse uno más rápido que el otro. Por tanto:

aA = aB = a

FBA = FAB

De esta forma, las ecuaciones para el eje x en los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:

F – FBA = MA·a

FBA = MB·a

Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas (a y FBA). Si sustituimos en la primera ecuación el valor de FBA que nos da la segunda ecuación y despejamos la aceleración obtenemos:

a = F / (MA + MB)

Hemos obtenido así la aceleración con la que se mueven los dos cuerpos, que era lo que era lo que pretendiamos.

Historia

La primera contribución importante se debe a Aristóteles. Aristóteles define, el movimiento, lo dinámico (το δυνατόν), como “La realización acto, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está actualizando”. El problema esta en que Aristóteles invierte el estudio de la cinemática y dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y después el movimiento de los cuerpos. Este error dificultó el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento hasta, en primera instancia, San Alberto Magno, que fue quien advirtió este error, y, en ultima instancia hasta, Galileo Galilei e Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su De proportionibus velocitatum in motibus una ley matemática que enlazaba la velocidad con la proporción entre motivos a fuerzas de resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante dos siglos, pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición de «acrecentar», su trabajo se descartó y no se le ha dio reconocimiento histórico en su día.[1]

Ya con Galileo sus experimentos sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Newton a formular sus leyes fundamentales del movimiento, las cuales presentó en su obra principal Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares.

La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar adecuado.

[editar] Cálculo en dinámica

A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas.

El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la aceleración.

[editar] Leyes de conservación

Artículo principal: ley de conservación

Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué condiciones concretas una determinada magnitud “se conserva” (es decir, permanece constante en valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de teoremas vectoriales. Estos teoremas son:

  1. El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.
  2. El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular.

[editar] Ecuaciones de movimiento

Artículo principal: ecuación de movimiento

Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:

  • La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia inerciales.
  • La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
  • La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.
  • El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

Dinámica de sistemas mecánicos

En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad.

La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula

Artículo principal: Dinámica del punto material

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas.

En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mútua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de las partículas.

Dinámica del sólido rígido

Artículo principal: mecánica del sólido rígido

La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Conceptos relacionados con la dinámica

 Inercia

Artículos principales: inercia y masa inercial

La inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento de traslación uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.

En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.

Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador en un sistema de referencia no-inercial.

La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):

donde mi es la masa inercial de la partícula i, y ai1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas pero las partículas ejercen fuerza las unas en las otras..

Trabajo y energía

El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía. Este teorema se puede enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la energía cinética como TEC.

Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás ciencias como, por ejemplo, la química y la electrotecnia, de dónde deriva su vital importancia.

Fuerza y potencial

La mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica. En todas ellas las causas del cambio se representa mediante fuerzas o conceptos derivados como la energía potencial asociada al sistema de fuerzas. En las dos primeras se usa fundamentalmente el concepto de fuerza, mientras que en la mecánica cuántica es más frecuente plantear los problemas en términos de energía potencial. La fuerza resultante sobre un sistema mecánico se relaciona con la variación de la cantidad de movimiento mediante la relación simple:

Cuando el sistema mecánico es además conservativo la energía potencial se relaciona con la energía cinética asociada al movimiento mediante la relación:

Física – Cinemática

Contenido

Apunte de cinemática: Velocidad, espacio y aceleración. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento uniformemente acelerado. Movimiento uniformemente retardado. Caída libre. Tiro vertical. Tiro parabólico. Tiro oblículo. Movimiento circular en el plano: horizontal, vertical, péndulo físico.

Cinemática

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

Siendo:

E: el espacio recorrido y

T: el tiempo transcurrido.

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración

Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = constante

a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t ²

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante

v = variable

1) Acelerado: a > 0

Xf = xo + vo.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)

Vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)

Vf ² = vo ² + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0

xf = xo + vo.t – ½.a.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo – a.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² – 2.a.Δx

3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.

a = g

vo = 0

yf = ½.g.t ² (Ecuación de posición)

vf = g.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = 2.a.Δy

4) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente.

a = g

vo ≠ 0

yf = yo + vo.t – ½.g.t ² (Ecuación de posición)

vf = vo – g.t (Ecuación de velocidad)

vf ² = vo ² – 2.a.Δy

5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

vo ≠ 0

6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

vo = 0

Movimiento circular en el plano

El movimiento circular es otro tipo de movimiento sencillo. Si un objeto se mueve con celeridad constante pero la aceleración forma siempre un ángulo recto con su velocidad, se desplazará en un círculo. La aceleración está dirigida hacia el centro del círculo y se denomina aceleración normal o centrípeta. En el caso de un objeto que se desplaza a velocidad v en un círculo de radio r, la aceleración centrípeta es:

a = v ²/r.

En este movimiento, tanto la aceleración como la velocidad tienen componentes en x e y.

1) Horizontal:

s = R. θ s: arco de circunferencia recorrido

θ: ángulo desplazado

v = R.ω ω: velocidad angular

aT = R. α aT: aceleración tangencial

α : aceleración angular

aN = v ²/R aN: aceleración normal o centrípeta

aN = R. ω ²

Sí v = constante Þ aT = 0

2) Vertical: este movimiento no es uniforme ya que la velocidad del cuerpo aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Para este modelo el cuerpo está sujeto por una cuerda, entonces, las fuerzas que actúan son el peso del cuerpo y la tensión de la cuerda, que componen una fuerza resultante.

FT = m.g.sen θ

FN = T – m.g.cos θ

T = m.(v ²/R + g.cos θ)

Siendo en el punto más bajo

T = m.(v ²/R + g)

Siendo en el punto más alto

T = m.(v ²/R – g)

En el punto mas alto la velocidad es crítica, por debajo de ésta la cuerda deja de estar tensa.

vc ² = R.g

3) Péndulo físico:

FT = m.g.sen θ

FN = T – m.g.cos θ

Amplitud:

s = R. θ

La velocidad es variable, anulándose en cada extremo del arco de circunferencia (amplitud).

T = m.g.cos θ

En el punto más bajo:

θ = 0

FT = 0

FN = T – P

El período τ es el tiempo en que se efectúa una oscilación completa.

τ = 2.π.√R/g

La frecuencia f es la relación entre el número de revoluciones y el tiempo de observación.

f = 1/ τ

Autor: Ricardo Santiago Netto.

• Si utilizaste el contenido de esta página no olvides citar la fuente “Fisicanet”

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME.

1. Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad media de 90 Km/h ¿A qué hora llegará a su destino?

Solución: a las dos de la tarde.

2. Dos trenes se cruzan perpendicularmente y hacen un recorrido durante cuatro horas, siendo la distancia que los separa al cabo de ese tiempo, de 100 km. Si la velocidad de uno de los trenes es de 20 km/h, calcular la velocidad del segundo tren.

Solución: v = 15 km/h

3. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 Km/h y 12 Km/h respectivamente se cruzan perpendicularmente en su camino. Al cabo de seis horas de recorrido, ¿cuál es la distancia que los separa?

Solución: 93,72 km.

4. Dos automóviles que marchan en el mismo sentido, se encuentran a una distancia de 126 Km. Si el más lento va a 42 Km/h, calcular la velocidad del más rápido, sabiendo que le alcanza en seis horas.

Solución: v = 63 km/h

5. Un deportista sale de su casa en bici a las seis de la mañana. Al llegar a un cierto lugar, se le estropea la bici y ha de volver andando. Calcular a qué distancia ocurrió el percance sabiendo que las velocidades de desplazamiento han sido de 30 Km/h en bici y 6 Km/h andando y que llegó a su casa a la una del mediodía.

Solución: 30 km

6. Un deportista recorre una distancia de 1.000 km, parte en moto y parte en bici. Sabiendo que las velocidades han sido de 120 Km/h en la moto y 20 Km/h en bici, y que el tiempo empleado ha sido de 15 horas calcular los recorridos hechos en moto y en bici.

Solución: la motocicleta 840 km y la bici 160 km.

7. Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo ¿al cabo de cuántos segundos percibirá el observador : a) el sonido directo. b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s.

Solución: el sonido directo a 0,75 s, y el del eco a 2,25 s.

8. Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que lo ve, sale detrás del mismo tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo lo alcanzará?

Solución: 30 minutos.

9. Calcular la longitud de un tren cuya velocidad es de 72 Km/h y que ha pasado por un puente de 720 m de largo, si desde que penetró la máquina hasta que salió el último vagón  han pasado ¾ de minuto.

Solución: 180 metros.

10. Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde, calcular : a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen?

Solución: tardan en encontrarse 2,5 horas; a 195 km de Bilbao.

MOVIMIENTO DE CAIDA DE CUERPOS.

1. Una bombilla cae del techo de un tren que va a 40 Km/h. Calcular el tiempo que tarda en caer si el techo dista del suelo 4 metros.

2. Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial. ¿Al cabo de cuánto tiempo su velocidad será de 45 Km/h?

3. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando choca contra el suelo?

4. Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 20 cm/s. ¿Cuál será su velocidad cinco segundos después y qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

5. Desde la azotea de un rascacielos de 120 m. de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular : a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.

6. Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a 300 m del suelo. A los dos segundos pasa por delante de otro que está a 200 m del suelo. Calcular : a) altura desde la que cae. b) velocidad con que choca contra el suelo.

7. Si queremos que un cuerpo suba 50 m. verticalmente. ¿Con qué velocidad se deberá lanzar? ¿Cuánto tiempo tardará en  caer de nuevo a tierra?

8. Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se disparó y la altura alcanzada.

9. Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 Km. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima c)Altura alcanzada.

10. Del techo de un ascensor que dista 2 m del suelo, se  desprende un tornillo en el momento mismo del arranque del ascensor que sube con una velocidad constante de 1 m/s. Calcular a) la distancia a la que estará el tornillo del suelo 0,5 s. después de iniciada la subida. b) Tiempo que tardará en tocar el suelo.

11. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo; el 1º con una velocidad inicial de 50 m/s y el 2º con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular a) Tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) A qué altura sucederá el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ese momento.

MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEMENTE VARIADO.

1. Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad normal que es 60 Km/h. Suponiendo que su movimiento es uniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y qué espacio ha recorrido antes de alcanzar la velocidad regular?

2. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleración de 2 m/s2 ¿Cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 144 Km/h?

3. Un móvil lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado cuya aceleración es igual a 2 cm/s2. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer 2,10 m.

4. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 Km/h. Calcular a) su aceleración media. b) Espacio recorrido en ese tiempo.

5. En ocho segundos, un automóvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de 72 m/s. ¿Qué espacio deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s?

6. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleración del móvil es de 4 m/s2; calcular a) Tiempo que  tarda el móvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado.

7. Dos móviles se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre sí 180 Km. Si se encuentran a los 9 s de salir y los espacios recorridos por los móviles están en relación de 4 a 5, calcular sus aceleraciones respectivas.

8. Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleración durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si partió del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el último segundo.

9. Un móvil se mueve con movimiento acelerado. En los segundos 2 y 3  los espacios recorridos son 90 y 100 m respectivamente. Calcular la velocidad inicial del móvil y su aceleración.

10. Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultáneamente uno en persecución del otro con movimiento acelerado ambos, siendo la aceleración del más lento, el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleración de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro.

11. Un móvil parte del reposo y de un punto A, con movimiento acelerado cuya aceleración es de 10 m/s2. Tarda en recorrer una distancia BC = 105 cm. un tiempo de 3 segundos  y finalmente llega al punto D. (CD = 55 cm). Calcular a) velocidad del móvil en los puntos B,C y D. b) la distancia AB. c) el tiempo invertido en los recorridos AB y CD.

12. Un tren que va a 50 Km/h debe reducir su velocidad a 25 Km/h. al pasar por un puente. Si realiza la operación en 4 segundos, ¿Qué camino ha recorrido en ese tiempo?

13. Al iniciar una cuesta del 5% de pendiente, un coche lleva una velocidad de 72 Km/h. ¿Qué recorrido podrá hacer en la rampa si ha parado el motor?

14. ¿Qué velocidad llevaba un coche en el momento de frenar si ha circulado 12 m. hasta pararse (a = 30 cm/s2). ¿Cuánto tiempo ha necesitado para parar?

15. La velocidad de un vehículo es de 108 Km/h y en 5 segundos reduce la velocidad a 72 Km/h. Calcular el tiempo que tardó en pararse.

16. Un avión recorre 1.200 m. a lo largo de  la pista antes de detenerse cuando aterriza. Suponiendo que su deceleración es constante y que en el momento de tocar tierra su velocidad era de 100 Km/h. Calcular a) tiempo que tardó en pararse. b) Distancia que recorrió en los diez primeros segundos.

la Dinamica

es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación.
El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.
A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas.
El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la aceleración.

Ecuaciones de cinematica de edwin quintero

Introducción:
 
Como mencionáramos anteriormente, la cinemática es el estudio del movimiento de los objeto. Este se puede describir con palabras, gráficas, diagramas y ecuaciones. En esta lección describiremos cuatro ecuaciones útiles en la descripción del movimiento. A estas cuatro ecuaciones las conocemos como las cuatro ecuaciones de cinemática. Te invitamos a estudiar este tema y así poder utilizar tan importantes ecuaciones. En la pasada lección definimos la aceleración como la razón de cambio en la velocidad respecto al tiempo.

Al resolver esta ecuación para la velocidad final, resultaba una ecuación que nos servía para determinar la velocidad final de un objeto bajo aceleración uniforme. A esta ecuación la denominamos la primera ecuación de cinemática.   

Esta ecuación está escrita de la forma y = mx + b, en la que la y representa la velocidad final, x al tiempo, la b o el intercepto en el eje y representa la velocidad inicial y m o la pendiente representa la aceleración. Entonces, la gráfica de velocidad versus tiempo de un objeto uniformemente acelerado, tiene como pendiente a la aceleración. En otra de las lecciones definimos la velocidad promedio como la razón de cambio en el desplazamiento respecto al tiempo.  

Expresado de otra manera, la velocidad promedio es la suma de la velocidad inicial y la final dividida entre dos.  

Entonces podemos unir ambas ecuaciones de los cuadros verdes anteriores y obtenemos:

Si resolvemos esta última para desplazamiento, entonces obtendremos una ecuación que sirve para determinar el desplazamiento de un objeto durante el movimiento uniformemente acelerado. A esta la denominaremos como la segunda ecuación de cinemática. 
 
 

'This has got to be the longest course I've ever played!' (colour) by King, Jerry

Si sustituimos la primera ecuación de cinemática en la segunda, obtendremos una ecuación que nos ayudará a determinar el desplazamiento de un objeto, dada la aceleración y la velocidad inicial en un tiempo determinado. Esta será nuestra tercera ecuación de cinemática.
 

 La ecuación obtenida para el desplazamiento sería:

Ahora bien, si resolvemos la primera ecuación de cinemática para el tiempo obtendríamos:

y la substituimos en la segunda ecuación de cinemática, obtendremos una ecuación que nos ayude a determinar la velocidad final, dada la velocidad inicial, la aceleración y el desplazamiento. A esta ecuación la denominaremos la cuarta ecuación de cinemática.  
  
 

 

La ecuación obtenida es:

Fíjate que estas ecuaciones sirven para determinar las características del movimiento de un objeto a partir de ciertos datos dados. Debes saber seleccionar la ecuación correcta a partir de las cantidades conocidas y desconocidas en la situación. 

La siguiente tabla resume las ecuaciones y puedes utilizarla para resolver los problemas asignados en las tareas.

Fíjate que cada ecuación es independiente de un dato, en otras palabras no necesitas ese dato para resolver el ejercicio.  Por ejemplo a la primera le falta el desplazamiento, a la segunda la aceleración, a la tercera le falta la velocidad final y a la cuarta el tiempo. Así que si vas a resolver un problema en el que se te menciona, la velocidad inicial, el desplazamiento, la aceleración y el tiempo, la ecuación que utilizarás para buscar la cantidad que falte de estas cuatro será la cuarta ecuación de cinemática que menciona todas las cantidades relacionadas en el problema.
 

Al resolver problemas de física, debes proceder en forma ordenada.

1. Lee cuidadosamente el problema.
2. Identifica las cantidades dadas en el problema.
3. Identifica la cantidad a buscar en el problema.
4. Identifica la ecuación que contiene estas cantidades.
5. Resuelve la ecuación para la desconocida.
6. Sustituye los valores en la ecuación, recordando sus unidades,  resuelve y simplifica.
7. Coteja las unidades del resultado.
8. Coteja que el signo, magnitud y la dirección sean las correctas
9.  Coteja si la respuesta obtenida es razonable.

Este último paso es muy importante, sin embargo muchos estudiantes lo pasan por alto. Por ejemplo, es imposible que el tiempo en un cálculo resulte negativo. En tal caso, nos indica que hay un error en algún sitio. Igualmente, si el objeto está disminuyendo la velocidad y del cálculo resulta que la velocidad final es mayor que la inicial, algo anda mal.
 

Ecuciones de dinamica

En la Dinámica Rotacional no newtoniana, sustentada en la Teoría de Interacciones Dinámicas, las ecuaciones del movimiento de un móvil en el espacio, sometido a sucesivos pares de fuerzas no coaxiales, podrán establecerse de forma sencilla mediante un operador matemático. Podemos definir el operador matemático de rotación , que actúa sobre la velocidad inicial , de tal forma que la velocidad de traslación en cada instante será: y vendrá definida por el producto matricial de la matriz diádica por el vector de velocidad inicial :

(1)

El operador rotacional transforma el vector velocidad en el vector , por medio de una rotación en el espacio.

En el supuesto de un móvil con un movimiento de rotación sobre un eje principal de inercia, con momento de inercia I sobre ese eje y, por tanto, con un momento angular y una velocidad inicial de traslación de su centro de gravedad, cuando es sometido a un nuevo par no coaxial, modificara su trayectoria por acción de este nuevo par no coaxial, conforme a una rotación, por ejemplo, alrededor del eje Z, siendo el operador rotacional, en este caso de la forma:

Siendo, además función del par actuante , de la velocidad de rotación , del momento de inercia I, y por tanto, también del momento angular .

En general, la trayectoria del móvil quedará definida en coordenadas intrínsecas por las sucesivas velocidades del cuerpo , determinadas por el producto matricial del operador rotacional sobre el vector de velocidad inicial . Resulta, como ecuación general del movimiento, en escenarios no newtonianos, para los cuerpos dotados de momento angular intrínseco, cuando son sometidos a sucesivos pares de fuerza no coaxiales, la referida ecuación (1). En esta ecuación el operador rotacional es el tensor que transforma la velocidad inicial, en la que corresponde a cada estado dinámico sucesivo, por medio de una rotación en el espacio.

En resumen, en este modelo matemático simplificado sería posible que en el espacio, los cuerpos móviles sometidos a sucesivos pares no coaxiales, por causa de interacciones dinámicas inerciales, generarán una modificación de su trayectoria tal que, manteniéndose el momento angular inicial, por razón del segundo par, su centro de masas iniciará una desviación, describiendo una nueva trayectoria radial, sin necesidad de fuerzas centrales reales. En la Dinámica Rotacional no newtoniana, sustentada en la Teoría de Interacciones Dinámicas, las ecuaciones del movimiento de un móvil en el espacio, sometido a sucesivos pares de fuerzas no coaxiales, podrán establecerse de forma sencilla mediante un operador matemático. Podemos definir el operador matemático de rotación , que actúa sobre la velocidad inicial , de tal forma que la velocidad de traslación en cada instante será: y vendrá definida por el producto matricial de la matriz diádica por el vector de velocidad inicial :

(1)

El operador rotacional transforma el vector velocidad en el vector , por medio de una rotación en el espacio.

En el supuesto de un móvil con un movimiento de rotación sobre un eje principal de inercia, con momento de inercia I sobre ese eje y, por tanto, con un momento angular y una velocidad inicial de traslación de su centro de gravedad, cuando es sometido a un nuevo par no coaxial, modificara su trayectoria por acción de este nuevo par no coaxial, conforme a una rotación, por ejemplo, alrededor del eje Z, siendo el operador rotacional, en este caso de la forma:

Siendo, además función del par actuante , de la velocidad de rotación , del momento de inercia I, y por tanto, también del momento angular .

En general, la trayectoria del móvil quedará definida en coordenadas intrínsecas por las sucesivas velocidades del cuerpo , determinadas por el producto matricial del operador rotacional sobre el vector de velocidad inicial . Resulta, como ecuación general del movimiento, en escenarios no newtonianos, para los cuerpos dotados de momento angular intrínseco, cuando son sometidos a sucesivos pares de fuerza no coaxiales, la referida ecuación (1). En esta ecuación el operador rotacional es el tensor que transforma la velocidad inicial, en la que corresponde a cada estado dinámico sucesivo, por medio de una rotación en el espacio.

En resumen, en este modelo matemático simplificado sería posible que en el espacio, los cuerpos móviles sometidos a sucesivos pares no coaxiales, por causa de interacciones dinámicas inerciales, generarán una modificación de su trayectoria tal que, manteniéndose el momento angular inicial, por razón del segundo par, su centro de masas iniciará una desviación, describiendo una nueva trayectoria radial, sin necesidad de fuerzas centrales reales.

 

Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.