David Stalin ecuaciones de cinemática y dinamica

Ecuaciones cinemática
Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:

e = eo + vo·t + ½·a·t²
vf = vo + a·t

e es el desplazamiento del móvil
eo es la posición inicial
t es el intervalo de tiempo que estamos considerando
vo es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
vf es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo)
a es la aceleración

Lanzamiento horizontal: ecuaciones asociadas.

En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos movimientos:

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independienteuno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su “Principio de la independencia de los movimientos”.

Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un ángulo , con una velocidad inicial “vo”, se produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por la fuerza de gravedad, precisamente éste último ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea parabólica.

Cuando el proyectil ocupa la posición P de la Figura 4, un instante “t” después de haber sido lanzado, la velocidad, , tendrá una componente horizontal,, y otra vertical,. La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y está dada por:

(30)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad, m/s

vox: componente horizontal de la velocidad inicial, m/s

: ángulo de disparo, grados

La magnitud de la componente vertical de la velocidad en cualquier instante está dada por:

(31)

Donde:

vy: componente vertical de la velocidad, m/s

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

t: tiempo, s

Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada por:

(32)

El ángulo que el vector velocidad total forma con el eje horizontal permite definir la dirección del referido vector:

(33)

El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x) viene dado por:

(34)

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante, , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de desplazamiento vertical, queda definida por:

(35)

El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima [ymáx], es denominado tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que, a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a lo largo del eje y [ ] hasta hacerse cero en el vértice de la parábola descrita.

Según la Ecuación 31 y sabiendo que la velocidad vertical en el punto de máxima altura es cero.

despejando tmáx…

(36)

Por otra parte, la altura máxima la obtenemos haciendo t = tmáx en la Ecuación 35, quedandonos…

ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación 36…

Nos queda desarrollando…

(37)

Donde:

ymáx: máxima altura que alcanza el proyectil, m

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura 4).

(38)

Las fórmulas desarrolladas tanto para el lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto resistivo del aire, la curvatura de la superficie terrestre, ni la variación gravitacional.

1.6 Movimiento circular: ecuaciones asociadas.

Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas, revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución es equivalente a 360º ó 2 radianes.

Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se refiere a la variación del desplazamiento angular que experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min [conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo “” radianes en un tiempo de “t” segundos, su velocidad angular media [rad/s] se define por la relación:

(39)

Donde;

: velocidad angular promedia, rad/s

: desplazamiento angular, radianes

t: tiempo, s

La frecuencia angular, expresa el número de radianes que el cuerpo se desplaza en un segundo. La unidad de la frecuencia en el Sistema Internacional deunidades es el Hertz o s-1.

(40)

La aceleración angular [] de un cuerpo en movimiento de rotación en torno a un eje es la variación que experimenta su velocidad angular en la unidad de tiempo. Se expresa en radianes por segundo cuadrado. Si la velocidad angular de un cuerpo varía de “wo” a “wt” en rad/s en “t” segundos, resulta:

(41)

Donde:

aceleración angular, rad/s2

t: velocidad angular final, rad/s

o: velocidad angular inicial, rad/s

t: tiempo, s

Las relaciones entre las magnitudes lineales y angulares en el movimiento circular son:

S = .R (42)

Donde:

desplazamiento angular, rad

R: radio de la circunferencia trazada, m

S: arco de circunferencia, m

v = w . R (43)

Donde:

v velocidad tangencial, m/s

R: radio de la circunferencia trazada, m

: velocidad angular, rad/s

a = . R (44)

Donde:

a aceleración tangencial, m/s2

R: radio de la circunferencia trazada, m

: aceleración angular, rad/s2

Las ecuaciones del movimiento de rotación uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento lineal. Sean vo y wo las velocidades iniciales lineal y angular, respectivamente y, vt y wt las correspondientes finales. En estas condiciones:

wt = wo + t (45)

s = wot + 1/2 t2 (46)

wt2 = wo2 + 2. (47)

Figura 5. Partícula que se traslada a lo largo de una trayectoria circular.

Cuando un cuerpo está dotado de un movimiento de rotación uniforme, aunque el módulo de la velocidad es constante, la dirección varía constantemente. Como la velocidad es una magnitud vectorial y, por tanto, además de módulo posee dirección y sentido, resulta evidente que en cualquier movimiento de rotación uniforme existe una aceleración provocada por el cambio continuo de dirección, dicha aceleración es conocida como aceleración normal, central o radial (Figura 5). La dirección del vector aceleración es perpendicular a la dirección de la velocidad y su sentido es hacia el centro de la circunferencia (si no fuera así, habría una componente de aceleración en la dirección de la velocidad y el módulo de la velocidad no se mantendría constante).

El módulo de esta aceleración central aN que se denomina aceleración centrípeta (también denominada: normal, radial o central) es:

(48)

Donde:

an aceleración centrípeta, m/s2

v: velocidad tangencial, m/s

R: Radio de curvatura, m

Otras expresiones equivalentes, a la Ecuación 48, son:

(49)

(50)

Donde:

f frecuencia angular, Hertz

: velocidad angular, rad/s

R: Radio de curvatura, m

La Figura 5 muestra que conforme la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria circular curva la dirección del vector aceleración total, , cambia de un punto a otro. Este vector puede descomponerse en dos componentes ortogonales; un vector componente radial, , [el cual se explicó con detalle anteriormente], y un vector componente tangencial,  . Es decir, el vector aceleración total puede escribirse como la suma vectorial de estos vectores componentes:

(51)

La aceleración tangencial proviene del cambio en la velocidad de la partícula. Su dirección es la misma del vector velocidad lineal, y se define como:

(52)

O sea, la aceleración tangencial es equivalente a la razón de cambio del vector velocidad tangencial. De la Ecuación 48 y Ecuación 52, se infiere que un móvil que describa un trayectoria circular siempre poseerá una aceleración asociada, inclusive si la velocidad tangencial fuese constante.

1.7 Cantidad de movimiento y las leyes de Newton del movimiento.

En el campo de la ingeniería, cantidad de movimiento se vincula con momento lineal. La cantidad de movimiento, se define como el producto de la masade una partícula y su velocidad.

El momento lineal es una cantidad vectorial, pues es igual al producto de una unidad escalar: masa, y un vector, (velocidad). Su dirección está a lo largo de, , y tiene por dimensión kg.m/s en el Sistema Internacional.

Si una partícula se mueve en una dirección arbitraria, el momento lineal tendrá tres componentes a lo largo de los ejes x, y, z.

(53)

(54)

(55)

Con la segunda Ley del movimiento de Newton (las cuales se explicarán más adelante) se puede relacionar el momento lineal de una partícula con la fuerza resultante que actúa sobre ella: ” la tasa de cambio en el tiempo del momento lineal de una partícula es igual a la fuerza resultante que actúa sobre la partícula .” Es decir:

(56)

Una de las leyes más importantes de la mecánica, la constituye “La ley de conservación del momento lineal”, la cual establece:

El momento total de un sistema aislado es igual en todo momento a su momento inicial

La ley de conservación del momento lineal, tiene un sin número de aplicaciones, siendo una de la más conocida el estudio de las colisiones (en el ámbitofísico engloba, los choques elásticos e inelásticos).

En los párrafos anteriores se hizo mención a las leyes del movimiento de Newton, éstas son los pilares de la dinámica, pues a partir de ellas se generan las ecuaciones dinámicas del movimiento de cualquier sistema. A continuación se presentan dichas leyes:

Principio de inercia

“Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza resultante no nula. Dicho en otras palabras: para que un cuerpo posea una aceleración debe actuar sobre él una fuerza no equilibrada”

Principio de la fuerza

“Una fuerza no equilibrada aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración, de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa, m, del cuerpo”

Principio de acción y reacción

“A toda fuerza [acción] se le opone otra [reacción] igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce una acción sobre otro, este último ejerce también una acción, del mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero. Estas dos fuerzas, aunque opuesta, no se equilibran mutuamente, ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las fuerzas de acción y reacción siempre están aplicadas a cuerpos distintos”

1.8 Estrategia a seguir en la resolución de problemas usando las leyes de Newton.

El siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes de Newton (dinámica):

  • Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.
  • Aísle el objeto cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un objeto, dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre sus alrededores.
  • Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Aplique la segunda Ley de Newton, F = m.a, en la forma de componentes. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerza.
  • Resuelva las ecuaciones de componentes para las incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas parapoder obtener una solución completa.
  • Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados.

1.9 Fuerza de fricción.

La fuerza de fricción, es una fuerza tangencial que actúa en la superficie de contacto entre dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto al otro. Las fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies que están en contacto.

La fuerza de fricción se calcula:

(57)

De la ecuación 57 se desprende que la fuerza de fricción es igual al coeficiente de rozamiento entre las superficies involucradas multiplicada por el módulo del vector normal. El coeficiente de rozamiento es un parámetro adimensional que depende de la naturaleza de los materiales que friccionan entre si. El coeficiente de fricción toma valores que se encuentran acotados entre cero (superficie perfectamente rugosa) y uno (superficies perfectamente lisa).

Existen dos tipos de fuerzas de fricción:

Fuerza de rozamiento cinético: es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando una de ellas se desplaza sobre, y con respecto de, la otra.

Fuerza de rozamiento estático: es la fuerza tangencial entre dos superficies cuando no existe movimiento relativo entre ellas. La fuerza tangencial entre dos superficies inmediatamente antes de que una de ellas comience a desplazarse sobre la otra recibe el nombre de “fuerza máxima de rozamiento estático”.

1.10 Análisis cinemático – vectorial del movimiento.

Conocido el vector posición del móvil:

(58)

Para obtener el vector velocidad, se deriva con respecto al tiempo el vector posición:

(59)

El vector aceleración se obtiene derivando el vector velocidad respecto del tiempo:

(60)

El vector aceleración posee dos componentes ortogonales entre si; la aceleración tangencial y la aceleración normal:

(61)

O sea, el módulo del vector aceleración normal, es equivalente al módulo del vector velocidad elevado al cuadrado sobre el radio de curvatura en un tiempo “t”.

Otra manera de calcular la aceleración normal es:

(62)

O sea, el vector aceleración normal es igual al producto vectorial del vector aceleración y el vector velocidad dividido entre el modulo del vector velocidad.

La aceleración tangencial, siempre será un vector tangente a la trayectoria descrita por la partícula y se cuantifica por medio de:

(63)

O sea, la aceleración tangencial es igual al producto escalar del vector aceleración y el vector velocidad dividido entre el modulo del vector velocidad

La aceleración normal y tangencial se relaciona por medio del Teorema de Pitágoras, pues son de naturaleza vectorial:

(64)

El radio de curvatura, el cual es la distancia que existe desde el móvil hasta el centro instantáneo de rotación se calcula de la siguiente manera:

(65)

Cuando el vector posición no es una función del tiempo, sino una función de otra función la cual a subes es una función del tiempo se usa la Regla de la Cadena para resolver las ecuaciones cinemáticas.

1.11 Nociones del movimiento relativo.

Un movimiento relativo, es el cambio de posición que experimenta un móvil respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo.

En la Figura 6 se muestran dos sistemas de referencia, S y S’, que poseen un movimiento relativo de traslación uniforme. Se trata de describir desde ambos sistemas el movimiento de un punto P que se desplaza hasta P’.

Figura 6. Partícula que se traslada a lo largo de una trayectoria arbitraria y cuyo movimiento está siendo descrito con relación a dos sistemas de referencias con ejes paralelos.

Sea rPO el vector de posición del punto P respecto al origen del sistema S; rPO’ el vector de posición de este mismo punto respecto al origen del sistema S’; rP’O el vector de posición del punto en P’ respecto al origen O; rP’O’ el vector de posición de ese mismo punto respecto al origen O’, y rO’Oel vector de posición de O’ respecto a O. La relación que existe entre estos vectores, tal y como se observa en la figura es:

rO’O + rPO’ = rPO (66)

rO’O + rP’O’ = rP’O (67)

Por tanto;

rPO’ – rP’O’ = rPO – rP’O = r (68)

De acuerdo a la Ecuación 68, el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia S es el mismo que el vector desplazamiento respecto al sistema de referencia S’.

La relación entre la velocidad del punto respecto al sistema S’, vPO’, la velocidad del punto respecto del sistema S, vPO, y la velocidad relativa de ambos sistemas, vOO’, es:

vPO’ = vPO – vOO’ (69)

Como vOO’ es constante, si se deriva la expresión anterior se obtiene:

aPO’ = aPO (70)

La aceleración del punto es la misma en los dos sistemas de referencia. Esto es lo que se conoce como principio de relatividad de Galileo, según el cual todo sistema de referencia que se mueva con velocidad constante es equivalente a cualquier otro cuando se estudian las variaciones que tienen lugar en el movimiento de un cuerpo.

  1. chico lo siento pero esto ya lo tiene la mayoria aprende de jers el si es original ok

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