ecuaciones de dinamica

Ecuaciones de movimiento

Artículo principal: ecuación de movimiento

Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:

  • La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia inerciales.
  • La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
  • La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.
  • El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

Dinámica de sistemas mecánicos

1. Un cuerpo de 20 kg inicialmente en reposo sufre una fuerza constante de 200 N.

Calcula su aceleración.

Respuesta:

m = 20 kg F = m · a è 200 = 20 · a è a = 200 / 20 = 10 m / s2

F = 200 N

a= ?

2. Un cuerpo de masa 2 t sufre una fuerza de 1000 N. Calcula su aceleración.

3. Un vehículo tiene una aceleración de 3,5 m / s2. Si su masa es de 1,2 t, ¿qué fuerza

ejerce el motor?

4. Un objeto de 40 kg es arrastrado por el suelo con una fuerza de 200 N. Calcula su

aceleración en los dos casos siguientes:

a) La fuerza es paralela al suelo.

b) La fuerza forma un ángulo de 60º con el suelo.

Respuesta:

(a)

F = m · a è 200 = 40 · a è a = 200 / 40 = 5 m·s-2

(b)

Fx = F · cos 60º

FX = m · a è 200 · cos 60º = 40 · a è 200 · 0,50 = 40 · a è 2,5 m·s-2

40

a = 200 · 0,50 =

5. Un objeto se empuja hacia abajo con una fuerza de 150 N, formando un ángulo de 30º

Con el suelo. Dibuja el sistema. Calcula la masa del objeto si su aceleración es de 3

m·s-2.

6. Un patinador de 60 kg empuja a otro de 80 kg con una fuerza de 30 N. ¿Con qué

Aceleración saldrá despedido cada uno?

Respuesta:

Utilizando la ecuación fundamental de la dinámica (F = m · a) para el segundo

Patinador:

F12 = m2 · a2 è 30 = 80 · a2 è a2 = 30 / 80 = 0,375 m·s-2

Aplicando la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción): F12 = – F21 = – 30 N

Utilizando la ecuación fundamental de la dinámica para el primer patinador:

F21 = m · a1 è – 30 = 60 · a1 è a1 = -30 / 60 = – 0,5 m·s-2

El signo indica que ambas aceleraciones son de sentido contrario.

7. Dos astronautas, con masas 70 kg y 90 kg respectivamente, están flotando en el

Espacio. Uno de ellos da una palmadita al otro con una fuerza de 10 N. Calcula la

Aceleración que adquiere cada uno.

8. Un automóvil frena con una deceleración de 6 m · s-2 . Calcula la fuerza media que

Ejerce el cinturón de seguridad sobre un conductor que tiene una masa de 75 kg.

9. Halla el peso de una persona de 70 kg.

Respuesta:

m = 70 kg

a = g = 9,8 m·s-2 F = m · a è P = m · g è P = 70 · 9,8 = 686 N

P = F =?

10. Calcula la masa de un cuerpo cuyo peso es de 600 N en la superficie terrestre.

F =200 N

m = 40 kg

m = 40 kg F =200 N

60º

F

FX

60º

EDUCAMIX

Dinámica 2

11. La longitud de un muelle en reposo es 20 cm. Sabiendo que su constante elástica es

50 N / m, halla su nueva longitud si se le estira aplicando una fuerza de 2,5 N.

12. Un muelle vertical se estira 10 cm cuando se pone una masa de 1,5 kg. Calcula:

a) Constante del resorte.

b) Fuerza que se debe hacer para que se estire 15 cm.

13. Se tira de un cajón de 100 kg con una fuerza constante de 300 N paralela al suelo. El

Cajón se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una

Aceleración de 2 m·s-2. Calcula la fuerza de rozamiento.

Respuesta:

m = 100 kg S F = m · a è F – FR = m · a è 300 – FR = 100 · 2 è FR

F = 300 N è 300 – 200 = FR è FR = 100 N

a = 2 m·s-2

FR = ?

14. El motor de un vehículo de 1,5 t tira con una fuerza de 3500 N. Calcula la aceleración

en los siguientes casos:

a) No existe fuerza de rozamiento.

b) La fuerza de rozamiento es de 2000 N.

c) La fuerza de rozamiento es de 4000 N.

15. Se sube un piano de 200 kg hasta la tercera planta de un edificio. Explica el tipo de

Movimiento que adquiere y calcula la aceleración con que sube en los siguientes

Casos:

a) Se aplica una fuerza de 980 N.

b) Se aplica una fuerza de 1960 N.

c) Se aplica una fuerza de 2205 N.

—–oooOOOooo—–

Libro de texto:

  • · Ejercicios resueltos (libro de texto): 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10. (No es necesario incluirlo en

el cuaderno).

  • · Para resolver (libro texto): 4, 5, 6, 9, 11,13, 15, 17, 18, 19, 20. (Debes escribir en tu

Cuaderno el enunciado y su respuesta).

  • · Actividades de las páginas 50 y 51: 28, 29, 32, 36, 41. (Debes escribir en tu cuaderno

El enunciado y su respuesta).

  • · Ciencia y Sociedad de la página 49. En tu cuaderno: Resumen y cuestión (c)

(Enunciado y respuesta).

¿Qué más debes incluir en tu cuaderno?

  • · La hoja con los seis ejercicios sobre vectores. Debes incluir la respuesta correcta en el

Hueco correspondiente.

  • · Los quince problemas de dinámica anteriores. Su enunciado y respuesta completa:

Datos, ecuaciones utilizadas, cálculos, etc.

  • · Resumen de la lección tercera

En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad.

La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula

Artículo principal: Dinámica del punto material

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas.

En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mutua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de las partículas.

Dinámica del sólido rígido

mecánica del sólido rígido

La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo un paramétrico de isometrías).

Conceptos relacionados con la dinámica

Inercia

: inercia y masa inercial

La inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento de traslación uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.

En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.

Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador en un sistema de referencia no-inercial.

La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):

donde mi es la masa inercial de la partícula i, y ai1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas pero las partículas ejercen fuerza las unas en las otras

Trabajo y energía

El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía. Este teorema se puede enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la energía cinética como TEC.

Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás ciencias como, por ejemplo, la química y la electrotecnia, de dónde deriva su vital importancia

Fuerza y potencial

La mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica. En todas ellas las causas del cambio se representa mediante fuerzas o conceptos derivados como la energía potencial asociada al sistema de fuerzas. En las dos primeras se usa fundamentalmente el concepto de fuerza, mientras que en la mecánica cuántica es más frecuente plantear los problemas en términos de energía potencial. La fuerza resultante sobre un sistema mecánico se relaciona con la variación de la cantidad de movimiento mediante la relación simple:

Cuando el sistema mecánico es además conservativo la energía potencial se relaciona con la energía cinética asociada al movimiento mediante la relación:

Problemas de dinámica.

1. Un cuerpo de 20 kg inicialmente en reposo sufre una fuerza constante de 200 N.

Calcula su aceleración.

Respuesta:

m = 20 kg F = m · a è 200 = 20 · a è a = 200 / 20 = 10 m / s2

F = 200 N

a= ?

2. Un cuerpo de masa 2 t sufre una fuerza de 1000 N. Calcula su aceleración.

3. Un vehículo tiene una aceleración de 3,5 m / s2. Si su masa es de 1,2 t, ¿qué fuerza

ejerce el motor?

4. Un objeto de 40 kg es arrastrado por el suelo con una fuerza de 200 N. Calcula su

aceleración en los dos casos siguientes:

a) La fuerza es paralela al suelo.

b) La fuerza forma un ángulo de 60º con el suelo.

Respuesta:

(a)

F = m · a è 200 = 40 · a è a = 200 / 40 = 5 m·s-2

(b)

Fx = F · cos 60º

FX = m · a è 200 · cos 60º = 40 · a è 200 · 0,50 = 40 · a è 2,5 m·s-2

40

a = 200 · 0,50 =

5. Un objeto se empuja hacia abajo con una fuerza de 150 N, formando un ángulo de 30º

Con el suelo. Dibuja el sistema. Calcula la masa del objeto si su aceleración es de 3

m·s-2.

6. Un patinador de 60 kg empuja a otro de 80 kg con una fuerza de 30 N. ¿Con qué

Aceleración saldrá despedido cada uno?

Respuesta:

Utilizando la ecuación fundamental de la dinámica (F = m · a) para el segundo

Patinador:

F12 = m2 · a2 è 30 = 80 · a2 è a2 = 30 / 80 = 0,375 m·s-2

Aplicando la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción): F12 = – F21 = – 30 N

Utilizando la ecuación fundamental de la dinámica para el primer patinador:

F21 = m · a1 è – 30 = 60 · a1 è a1 = -30 / 60 = – 0,5 m·s-2

El signo indica que ambas aceleraciones son de sentido contrario.

7. Dos astronautas, con masas 70 kg y 90 kg respectivamente, están flotando en el

Espacio. Uno de ellos da una palmadita al otro con una fuerza de 10 N. Calcula la

Aceleración que adquiere cada uno.

8. Un automóvil frena con una deceleración de 6 m · s-2 . Calcula la fuerza media que

Ejerce el cinturón de seguridad sobre un conductor que tiene una masa de 75 kg.

9. Halla el peso de una persona de 70 kg.

Respuesta:

m = 70 kg

a = g = 9,8 m·s-2 F = m · a è P = m · g è P = 70 · 9,8 = 686 N

P = F =?

10. Calcula la masa de un cuerpo cuyo peso es de 600 N en la superficie terrestre.

F =200 N

m = 40 kg

m = 40 kg F =200 N

60º

F

FX

60º

EDUCAMIX

Dinámica 2

11. La longitud de un muelle en reposo es 20 cm. Sabiendo que su constante elástica es

50 N / m, halla su nueva longitud si se le estira aplicando una fuerza de 2,5 N.

12. Un muelle vertical se estira 10 cm cuando se pone una masa de 1,5 kg. Calcula:

a) Constante del resorte.

b) Fuerza que se debe hacer para que se estire 15 cm.

13. Se tira de un cajón de 100 kg con una fuerza constante de 300 N paralela al suelo. El

Cajón se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con una

Aceleración de 2 m·s-2. Calcula la fuerza de rozamiento.

Respuesta:

m = 100 kg S F = m · a è F – FR = m · a è 300 – FR = 100 · 2 è FR

F = 300 N è 300 – 200 = FR è FR = 100 N

a = 2 m·s-2

FR = ?

14. El motor de un vehículo de 1,5 t tira con una fuerza de 3500 N. Calcula la aceleración

en los siguientes casos:

a) No existe fuerza de rozamiento.

b) La fuerza de rozamiento es de 2000 N.

c) La fuerza de rozamiento es de 4000 N.

15. Se sube un piano de 200 kg hasta la tercera planta de un edificio. Explica el tipo de

Movimiento que adquiere y calcula la aceleración con que sube en los siguientes

Casos:

a) Se aplica una fuerza de 980 N.

b) Se aplica una fuerza de 1960 N.

c) Se aplica una fuerza de 2205 N.

—–oooOOOooo—–

Libro de texto:

  • · Ejercicios resueltos (libro de texto): 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10. (No es necesario incluirlo en

el cuaderno).

  • · Para resolver (libro texto): 4, 5, 6, 9, 11,13, 15, 17, 18, 19, 20. (Debes escribir en tu

Cuaderno el enunciado y su respuesta).

  • · Actividades de las páginas 50 y 51: 28, 29, 32, 36, 41. (Debes escribir en tu cuaderno

El enunciado y su respuesta).

  • · Ciencia y Sociedad de la página 49. En tu cuaderno: Resumen y cuestión (c)

(Enunciado y respuesta).

¿Qué más debes incluir en tu cuaderno?

  • · La hoja con los seis ejercicios sobre vectores. Debes incluir la respuesta correcta en el

Hueco correspondiente.

  • · Los quince problemas de dinámica anteriores. Su enunciado y respuesta completa:

Datos, ecuaciones utilizadas, cálculos, etc.

  • · Resumen de la lección tercera
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