CAPÌTULO 2

2. MARCO TEÒRICO CONCEPTUAL

  1. Movimiento

La mecánica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los métodos matemáticos que describen el movimiento.

Esta parte de la mecánica recibe el nombre de cinemática.

Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio:

  • El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posición.
  • En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripción del movimiento en función de un punto simple (partícula).
  • Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotación ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeño como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia.
  • El movimiento más sencillo que puede describirse es el de un punto en línea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas.
  1. Desplazamiento, velocidad y aceleración

Para comprender como se mueven los objetos cuando actúan en ellos fuerzas y momentos de rotación externos no equilibrados, es importante configurar exactas imágenes físicas y matemáticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleración, comprender las relaciones entre estas tres cantidades.

En el proceso se imaginará un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeño cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas.

El principio, no se tendrá interés en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relación entre estas causas físicas y la trayectoria resultante.

En vez de ello, se supondrá que se conoce una ecuación de movimiento que puede resolverse para dar información explícita en todo momento acerca de la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

Sólo se considerarán los aspectos geométricos del movimiento, cuyo estudio se llama cinemática.

Inicialmente se supone que, de alguna manera, la partícula objeto del estudio está limitada a moverse sólo a lo largo del eje x.

Entonces se puede describir su posición en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la partícula, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una función de t.

Por lo anterior será posible representar gráficamente el desplazamiento x en función del tiempo y obtener una gráfica como la de la figura (2.1)

Para ver el gráfico seleccione la opción “Descargar” del menú superior

Desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partícula en ese intervalo, y observando que

(2.2.1)

De la figura 2.1 es claro que es la tangente del ángulo θ, por lo que representa también la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + .

Ahora podrá definirse la velocidad instantánea vx asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como el límite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definición de la derivada de x con respecto a t; entonces,

(2.2.2)

La velocidad instantánea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P a la curva de la figura 2.1.

Es claro que conforme ∆t∆x tienden a cero en el límite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P.

Por la ecuación (2.2.2), se puede considerar que la velocidad instantánea Vx es la rapidez de variación del desplazamiento.

Fácilmente se demuestra que si la velocidad instantánea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantánea.

Si la velocidad instantánea no fuese constante, entonces la velocidad dependerá del intervalo tiempo escogido y, en general, no será igual a la velocidad instantánea al principio o al final del intervalo.

También se puede hablar de la aceleración media āx durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad instantánea que experimenta la partícula durante aquél, dividido entre la duración del mismo,..; entonces,

Como antes, la aceleración instantánea ax asociada al tiempo t se considera como el límite de ax conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x con respecto a t:

vasquez la mejol

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