Ecuaciones de cinematica de edwin quintero

Introducción:
 
Como mencionáramos anteriormente, la cinemática es el estudio del movimiento de los objeto. Este se puede describir con palabras, gráficas, diagramas y ecuaciones. En esta lección describiremos cuatro ecuaciones útiles en la descripción del movimiento. A estas cuatro ecuaciones las conocemos como las cuatro ecuaciones de cinemática. Te invitamos a estudiar este tema y así poder utilizar tan importantes ecuaciones. En la pasada lección definimos la aceleración como la razón de cambio en la velocidad respecto al tiempo.

Al resolver esta ecuación para la velocidad final, resultaba una ecuación que nos servía para determinar la velocidad final de un objeto bajo aceleración uniforme. A esta ecuación la denominamos la primera ecuación de cinemática.   

Esta ecuación está escrita de la forma y = mx + b, en la que la y representa la velocidad final, x al tiempo, la b o el intercepto en el eje y representa la velocidad inicial y m o la pendiente representa la aceleración. Entonces, la gráfica de velocidad versus tiempo de un objeto uniformemente acelerado, tiene como pendiente a la aceleración. En otra de las lecciones definimos la velocidad promedio como la razón de cambio en el desplazamiento respecto al tiempo.  

Expresado de otra manera, la velocidad promedio es la suma de la velocidad inicial y la final dividida entre dos.  

Entonces podemos unir ambas ecuaciones de los cuadros verdes anteriores y obtenemos:

Si resolvemos esta última para desplazamiento, entonces obtendremos una ecuación que sirve para determinar el desplazamiento de un objeto durante el movimiento uniformemente acelerado. A esta la denominaremos como la segunda ecuación de cinemática. 
 
 

'This has got to be the longest course I've ever played!' (colour) by King, Jerry

Si sustituimos la primera ecuación de cinemática en la segunda, obtendremos una ecuación que nos ayudará a determinar el desplazamiento de un objeto, dada la aceleración y la velocidad inicial en un tiempo determinado. Esta será nuestra tercera ecuación de cinemática.
 

 La ecuación obtenida para el desplazamiento sería:

Ahora bien, si resolvemos la primera ecuación de cinemática para el tiempo obtendríamos:

y la substituimos en la segunda ecuación de cinemática, obtendremos una ecuación que nos ayude a determinar la velocidad final, dada la velocidad inicial, la aceleración y el desplazamiento. A esta ecuación la denominaremos la cuarta ecuación de cinemática.  
  
 

 

La ecuación obtenida es:

Fíjate que estas ecuaciones sirven para determinar las características del movimiento de un objeto a partir de ciertos datos dados. Debes saber seleccionar la ecuación correcta a partir de las cantidades conocidas y desconocidas en la situación. 

La siguiente tabla resume las ecuaciones y puedes utilizarla para resolver los problemas asignados en las tareas.

Fíjate que cada ecuación es independiente de un dato, en otras palabras no necesitas ese dato para resolver el ejercicio.  Por ejemplo a la primera le falta el desplazamiento, a la segunda la aceleración, a la tercera le falta la velocidad final y a la cuarta el tiempo. Así que si vas a resolver un problema en el que se te menciona, la velocidad inicial, el desplazamiento, la aceleración y el tiempo, la ecuación que utilizarás para buscar la cantidad que falte de estas cuatro será la cuarta ecuación de cinemática que menciona todas las cantidades relacionadas en el problema.
 

Al resolver problemas de física, debes proceder en forma ordenada.

1. Lee cuidadosamente el problema.
2. Identifica las cantidades dadas en el problema.
3. Identifica la cantidad a buscar en el problema.
4. Identifica la ecuación que contiene estas cantidades.
5. Resuelve la ecuación para la desconocida.
6. Sustituye los valores en la ecuación, recordando sus unidades,  resuelve y simplifica.
7. Coteja las unidades del resultado.
8. Coteja que el signo, magnitud y la dirección sean las correctas
9.  Coteja si la respuesta obtenida es razonable.

Este último paso es muy importante, sin embargo muchos estudiantes lo pasan por alto. Por ejemplo, es imposible que el tiempo en un cálculo resulte negativo. En tal caso, nos indica que hay un error en algún sitio. Igualmente, si el objeto está disminuyendo la velocidad y del cálculo resulta que la velocidad final es mayor que la inicial, algo anda mal.
 

Ecuciones de dinamica

En la Dinámica Rotacional no newtoniana, sustentada en la Teoría de Interacciones Dinámicas, las ecuaciones del movimiento de un móvil en el espacio, sometido a sucesivos pares de fuerzas no coaxiales, podrán establecerse de forma sencilla mediante un operador matemático. Podemos definir el operador matemático de rotación , que actúa sobre la velocidad inicial , de tal forma que la velocidad de traslación en cada instante será: y vendrá definida por el producto matricial de la matriz diádica por el vector de velocidad inicial :

(1)

El operador rotacional transforma el vector velocidad en el vector , por medio de una rotación en el espacio.

En el supuesto de un móvil con un movimiento de rotación sobre un eje principal de inercia, con momento de inercia I sobre ese eje y, por tanto, con un momento angular y una velocidad inicial de traslación de su centro de gravedad, cuando es sometido a un nuevo par no coaxial, modificara su trayectoria por acción de este nuevo par no coaxial, conforme a una rotación, por ejemplo, alrededor del eje Z, siendo el operador rotacional, en este caso de la forma:

Siendo, además función del par actuante , de la velocidad de rotación , del momento de inercia I, y por tanto, también del momento angular .

En general, la trayectoria del móvil quedará definida en coordenadas intrínsecas por las sucesivas velocidades del cuerpo , determinadas por el producto matricial del operador rotacional sobre el vector de velocidad inicial . Resulta, como ecuación general del movimiento, en escenarios no newtonianos, para los cuerpos dotados de momento angular intrínseco, cuando son sometidos a sucesivos pares de fuerza no coaxiales, la referida ecuación (1). En esta ecuación el operador rotacional es el tensor que transforma la velocidad inicial, en la que corresponde a cada estado dinámico sucesivo, por medio de una rotación en el espacio.

En resumen, en este modelo matemático simplificado sería posible que en el espacio, los cuerpos móviles sometidos a sucesivos pares no coaxiales, por causa de interacciones dinámicas inerciales, generarán una modificación de su trayectoria tal que, manteniéndose el momento angular inicial, por razón del segundo par, su centro de masas iniciará una desviación, describiendo una nueva trayectoria radial, sin necesidad de fuerzas centrales reales. En la Dinámica Rotacional no newtoniana, sustentada en la Teoría de Interacciones Dinámicas, las ecuaciones del movimiento de un móvil en el espacio, sometido a sucesivos pares de fuerzas no coaxiales, podrán establecerse de forma sencilla mediante un operador matemático. Podemos definir el operador matemático de rotación , que actúa sobre la velocidad inicial , de tal forma que la velocidad de traslación en cada instante será: y vendrá definida por el producto matricial de la matriz diádica por el vector de velocidad inicial :

(1)

El operador rotacional transforma el vector velocidad en el vector , por medio de una rotación en el espacio.

En el supuesto de un móvil con un movimiento de rotación sobre un eje principal de inercia, con momento de inercia I sobre ese eje y, por tanto, con un momento angular y una velocidad inicial de traslación de su centro de gravedad, cuando es sometido a un nuevo par no coaxial, modificara su trayectoria por acción de este nuevo par no coaxial, conforme a una rotación, por ejemplo, alrededor del eje Z, siendo el operador rotacional, en este caso de la forma:

Siendo, además función del par actuante , de la velocidad de rotación , del momento de inercia I, y por tanto, también del momento angular .

En general, la trayectoria del móvil quedará definida en coordenadas intrínsecas por las sucesivas velocidades del cuerpo , determinadas por el producto matricial del operador rotacional sobre el vector de velocidad inicial . Resulta, como ecuación general del movimiento, en escenarios no newtonianos, para los cuerpos dotados de momento angular intrínseco, cuando son sometidos a sucesivos pares de fuerza no coaxiales, la referida ecuación (1). En esta ecuación el operador rotacional es el tensor que transforma la velocidad inicial, en la que corresponde a cada estado dinámico sucesivo, por medio de una rotación en el espacio.

En resumen, en este modelo matemático simplificado sería posible que en el espacio, los cuerpos móviles sometidos a sucesivos pares no coaxiales, por causa de interacciones dinámicas inerciales, generarán una modificación de su trayectoria tal que, manteniéndose el momento angular inicial, por razón del segundo par, su centro de masas iniciará una desviación, describiendo una nueva trayectoria radial, sin necesidad de fuerzas centrales reales.

 

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