teoria cinematica “claminton”

INTRODUCCIÓN

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturalezade los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentum, fuerzay energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes.

La mecánica, es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la cinemática, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica, que a diferencia de la cinemática, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del movimiento propuestas por Newton.

En este material instruccional se introducirá en forma sucinta los movimientos clásicos que se asocian a la cinemática: movimiento rectilíneo acelerado y no acelerado, movimiento curvilíneo, movimiento parabólico y caída libre. Se presentará los conceptos de aceleración tangencial, aceleración radial y radio de curvatura; todos ellos de manifiesto en los movimientos circulares. Un apartado será dedicado a la cinemática vectorial; aquí, el álgebra con vectores se empleará en la caracterización de los movimientos. Se expondrá las leyes del movimiento de Newton, y la manera como éstas se aplican al análisisde una amplia variedad de movimientos. En determinadas situaciones se incluirá en el análisis, fuerzas de rozamiento, en sus dos variantes: fuerzas de rozamiento estático y fuerza de rozamiento dinámico. Al final, se ofrecerá una recopilación de algunos problemas que han formado parte de las evaluaciones de cohortes precedentes.

OBJETIVO GENERAL

Al término de éste módulo, el estudiante tendrá la habilidad y pericia necesaria para aplicar los conceptos básicos de cinemática y dinámica en la resolución de problemas prácticos que involucren movimientos tanto en el plano como en el espacio.

CONTENIDOS

  1. Movimiento uniforme acelerado y no acelerado.
  2. Características cinemáticas de cuerpos en caída libre.
  3. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento parabólico.
  4. Características cinemáticas de cuerpos en movimiento circular.
  5. Leyes del movimiento de Newton.
  6. Fuerzas de rozamiento: estático y dinámico.
  7. Cinemática vectorial: vector posición, vector velocidad y vector aceleración.
  8. Cinemática vectorial: radio de curvatura en movimientos circulares.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

  1. Multiplicación de vectores: escalar y vectorial.
  2. Álgebra matricial: matriz adjunta y teorema del cofactor.
  3. Cálculo infinitesimal: límite y derivación de funciones matemáticas.
  4. Cálculo integral: integrales definidas con límites de integración.
  5. Trigonometría plana.
  6. Descomposición rectangular de vectores: Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

DESARROLLO TEÓRICO

1.1 Diferencia entre cinemática y dinámica.

La cinemática, es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en función del espacio y el tiempo, sin tomar en cuenta los agentes presentes que lo producen. Por su parte, la dinámica es un área de estudio de la mecánica que describe el movimiento en cuanto al espacio y el tiempo, considerando los agentes presentes que lo producen.

En cinemática es de gran importancia definir un referencial, el cual es un marco de referencia, cuya característica principal es la de no estar acelerado. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de un marco inercial es por sí mismo un marco inercial.

1.2 Velocidad y aceleración: ecuaciones básicas.

La velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo t, está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo (Figura 1).

(1)

Donde:

: Velocidad media del móvil, m/s

: Magnitud del desplazamiento del móvil, m

Intervalo de tiempo, s

Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Figura 1. Una partícula que se mueve en el plano x-y se localiza a través del vector posición dibujado desde el origen del sistema referencial inercial. El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en el intervalo = tf – ti, es igual al vector = .

Un concepto derivado de la velocidad media, es la velocidad instantánea, la cual se define como el límite de la velocidad promedio, , conforme tiende a cero.

(2)

La velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respecto del tiempo. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula está a lo largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese punto y en la dirección del movimiento. A la magnitud del vector de velocidad instantánea recibe el nombre de “rapidez”.

La velocidad media al igual que la velocidad instantánea se expresa m/s en el sistema internacional; Ft/s en el sistema británico (se lee pies por segundo), y cm/s en el sistema c.g.s.

Dado que la velocidad de un móvil puede variar en el tiempo, nació un concepto denominado aceleración, la cual se define como la razón de cambio del vector velocidad, , en un tiempo transcurrido .

(3)

Donde:

Vf: velocidad final del movimiento, m/s

Vi: velocidad inicial del movimiento, m/s

tf – ti: intervalo de tiempo trascurrido para que el móvil pase de Vi a Vf.

Puesto que la aceleración promedio es la razón entre una cantidad vectorial, , y una cantidad escalar, , se concluye que, , es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de .

Un concepto derivado de la aceleración promedio, es la aceleración instantánea, la cual se define como el valor límite de la razón , cuando, , tiende a cero.

(4)

En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la razón de cambio del vector velocidad respecto al tiempo.

Es importante tener en cuenta tres situaciones donde un móvil tiene una aceleración asociada: cuando la magnitud del vector (la rapidez) cambia con el tiempo; como en un movimiento acelerado en línea recta; cuando sólo la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo sin que su magnitud varíe, como en un movimiento curvilíneo; y por último, cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad se modifican continuamente.

La aceleración media, así como la aceleración instantánea se expresan en m/s2 en el sistema internacional, en Ft/s2 en el sistema británico (se lee pies por segundo cuadrado), y cm/s2 en el sistema c.g.s.

El hecho de que un cuerpo se desplace con una aceleración de 15 m/s2, implica que cada segundo su velocidad aumenta 15 m/s. También pudiese darse el caso de que un móvil ostente una aceleración negativa, por ejemplo de – 8 m/s2, lo cual indica que cada segundo su velocidad decae 8 m/s. Por último, si un móvil tiene una aceleración igual a cero, puede inferirse que: posee una velocidad constante, o se encuentra en reposo.

1.3 Movimiento rectilíneo uniforme.

Haciendo uso del cálculo integral, se deducirán las ecuaciones cinemáticas que gobiernan el movimiento unidimensional (significa que se da a lo largo de una línea recta).

Como la aceleración de un móvil está dada por: despejando dv, queda…

dv = a.dt la cual por integración, resulta…

(5)

Asumiendo que la aceleración es constante a lo largo del tiempo (movimiento con aceleración constante), nos queda:

v = a.t + C1 (6)

Donde:

a: aceleración del móvil, m/s2

t: tiempo, s

C1: constante de integración,m/s

El valor C1 depende de las condiciones iniciales del movimiento. Si se toma v = v0 cuando t = t0 y sustituimos estos valores en la ecuación 6, se tendrá…

v = a [0] + C1 despejando C1…

C1 = v0 (7)

Por tanto, se obtiene la primera ecuación cinemática (Ecuación 8), la cual relaciona la velocidad del móvil con su aceleración.

v = vo + a.t (8)

Ahora considerando la ecuación que define la velocidad instantánea: y despejando dx, nos queda:

dx = v.dt (9)

Integrando la Ecuación 9, resulta…

(10)

No obstante, dado que según la Ecuación 8: v = v0 + a.t, nos queda…

integrando…

(11)

Donde:

x: distancia recorrida, m

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

t: tiempo, s

a: aceleración del móvil, m/s2

C2: constante de integración, m

Para encontrar C2, se toma en cuenta la siguiente condición inicial x = x0, cuando t = 0. Esto produce C2 = x0. En consecuencia, se obtiene:

(12)

La Ecuación 12 relaciona: la velocidad inicial, el tiempo y la aceleración del móvil con la distancia por él recorrida.

Figura 2. Gráfica velocidad – tiempo. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante, a. La aceleración matemáticamente equivale a la pendiente de la gráfica superior, el punto de corte con el eje de velocidades, es la velocidad inicial del móvil.

La Figura 2, revela que la aceleración puede calcularse aplicando la definición de pendiente, o sea:

(13)

Cuando el movimiento es unidimensional, la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo es calculada como la media aritmética de la velocidad inicial, v0, y la velocidad final, v.

(14)

Donde:

: velocidad media del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

v: velocidad inicial del móvil en cualquier tiempo t, m/s

Según la Ecuación 8, v = v0 + a.t; despejamos t…

(15)

Dado que la Ecuación 12 establece que:; se introduce la Ecuación 15 en la Ecuación 12…

desarrollando, queda…

(16)

Donde:

v: velocidad final del móvil, m/s

vo: velocidad inicial del móvil, m/s

a: aceleración del móvil, m/s2

x – xo: distancia que recorre el móvil al pasar de vo a vf, m

Esta última fórmula establece la velocidad como una función del desplazamiento.

1.4 Lanzamiento horizontal: ecuaciones asociadas.

En éste tipo de lanzamiento el cuerpo está sometido simultáneamente a la acción de dos movimientos:

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su “Principio de la independencia de los movimientos”.

  • Uno horizontal, con velocidad constante.
  • Otro vertical, el cual es uniformemente acelerado.

Estos dos movimientos hacen que el desplazamiento resultante sea de una trayectoria parabólica, además, ambos son completamente independiente uno del otro, tal como lo demostró Galileo, mediante experimentos que lo llevaron a enunciar su “Principio de la independencia de los movimientos”.

Figura 3. En este caso el disparo se hace desde una altura “Y” como lo indica la figura con una velocidad inicial , al iniciar su caída estará sometido el proyectil a la acción de dos movimientos: uno horizontal con velocidad constante y otro vertical uniformemente acelerado hacia abajo debido a la fuerza de gravedad.

En este movimiento, la componente horizontal de la velocidad es de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual a, .

= (17)

La componente vertical de la velocidad, , en un instante de tiempo cualquiera viene dada por:

= .t (18)

Donde:

vy: velocidad vertical del móvil, m/s

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

Aplicando el Teorema de Pitágoras, es posible determinar el módulo del vector velocidad en cualquier instante, pues las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, en todo momento.

(19)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad del móvil, m/s

vy: componente vertical de la velocidad del móvil, m/s

La dirección del vector velocidad queda definida por la función tangente del ángulo .

(20)

La ecuación de posición horizontal es la misma del movimiento rectilíneo no acelerado, puesto que la rapidez en este sentido es constante, escribiéndose como:

x = v0.t (21)

La posición vertical se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre;

(22)

Donde:

y: distancia vertical que el móvil se ha desplazado, m

: constante de gravedad = 9,81 m/s2.

t: tiempo recorrido, s

El signo negativo en la Ecuación 22, se debe al vector gravedad, el cual esta dirigido verticalmente hacia el centro de la Tierra.

El desplazamiento total se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras, pues el desplazamiento vertical y horizontal son ortogonales entre si.

(23)

Donde:

x: componente horizontal del desplazamiento, m

y: componente vertical del desplazamiento, m

La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente.

(24)

Un término ampliamente usado en movimientos que se dan bajo un campo gravitatorio, es el tiempo de vuelo, el cual es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo. Al tocar el suelo el móvil ha recorrido todo la distancia vertical “Y” (Figura 3), pudiéndose escribir de acuerdo a la Ecuación 22:

despejando tv…

(25)

El alcance horizontal, es el desplazamiento total horizontal que el móvil posee al cumplirse el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el alcance horizontal es la misma del desplazamiento horizontal, pero con t = tv

R = v0. tv(26)

A continuación se demuestra que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento horizontal para cierto tiempo “t” viene dado por:

x = v0 . t despejando ” t ” nos queda…

(27)

Por otra parte el desplazamiento vertical al mismo tiempo “t” esta dada por la Ecuación 22…; como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir “t” de la Ecuación 27 en “t” de la Ecuación 22, quedando…

(28)

Como v0 (velocidad inicial) y g (aceleración de gravedad) son constantes se tendrá que:

y = k.x2 (29)

En donde (término constante)

Como puede notarse, la Ecuación 29 corresponde a la ecuación de una parábola, con lo que se concluye que la trayectoria del movimiento es esencialmente parabólica.

1.5 Lanzamiento inclinado: ecuaciones asociadas.

Al igual que el lanzamiento horizontal, el proyectil estará sometido a la acción de dos movimientos (Figura 4):

  • Uno horizontal con velocidad constante, es decir, la componente horizontal de la aceleración es cero.
  • Otro vertical con aceleración constante, dirigida hacia abajo.

Figura 4. Al lanzarse un proyectil inclinados un ángulo , con una velocidad inicial “vo”, se produce un movimiento en el cual se superponen dos movimientos independientes: uno horizontal no acelerado, y otro influido por la fuerza de gravedad, precisamente éste último ocasiona que la trayectoria seguida por el móvil sea parabólica.

Cuando el proyectil ocupa la posición P de la Figura 4, un instante “t” después de haber sido lanzado, la velocidad, , tendrá una componente horizontal,, y otra vertical,. La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido y está dada por:

(30)

Donde:

vx: componente horizontal de la velocidad, m/s

vox: componente horizontal de la velocidad inicial, m/s

: ángulo de disparo, grados

La magnitud de la componente vertical de la velocidad en cualquier instante está dada por:

(31)

Donde:

vy: componente vertical de la velocidad, m/s

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

t: tiempo, s

Dado que las componentes de la velocidad son ortogonales entre si, la magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada por:

(32)

El ángulo que el vector velocidad total forma con el eje horizontal permite definir la dirección del referido vector:

(33)

El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento horizontal (x) viene dado por:

(34)

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante, , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación de desplazamiento vertical, queda definida por:

(35)

El tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima [ymáx], es denominado tiempo máximo. Observando la Figura 4, puede notarse que, a medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad a lo largo del eje y [ ] hasta hacerse cero en el vértice de la parábola descrita.

Según la Ecuación 31 y sabiendo que la velocidad vertical en el punto de máxima altura es cero.

despejando tmáx…

(36)

Por otra parte, la altura máxima la obtenemos haciendo t = tmáx en la Ecuación 35, quedandonos…

ahora, sustituimos de acuerdo a la Ecuación 36…

Nos queda desarrollando…

(37)

Donde:

ymáx: máxima altura que alcanza el proyectil, m

vox: componente vertical de la velocidad inicial, m/s

g: aceleración de gravedad = 9,81 m/s2

El tiempo de vuelo es el tiempo que trascurre para que el proyectil vaya desde A hasta B (refiérase a la Figura 4).

(38)

Las fórmulas desarrolladas tanto para el lanzamiento horizontal como vertical, no consideran el efecto resistivo del aire, la curvatura de la superficie terrestre, ni la variación gravitacional.

1.6 Movimiento circular: ecuaciones asociadas.

Ante de iniciar este apartado, se debe hablar del desplazamiento angular; el cual se refiere a los grados, vueltas, revoluciones ó radianes que el cuerpo se desplaza a lo largo de la trayectoria circunferencial. Una revolución es equivalente a 360º ó 2 radianes.

Cuando se habla de la velocidad angular de un cuerpo, se refiere a la variación del desplazamiento angular que experimenta por unidad de tiempo. Se expresa en radianes/s o bien, grados/s, revolución/s, o revolución/min [conocida como RPM]. Si un cuerpo se desplaza un ángulo “” radianes en un tiempo de “t” segundos, su velocidad angular media [rad/s] se define por la relación:

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